Оглавление:
Колебание непрерывной функции
- Колеблющаяся непрерывная функция. Здесь мы применяем теорему Гейне-Бореля для доказательства двух важных теорем, связанных с колебаниями непрерывных функций. Теорема I. Если b (x) непрерывна в интервале (a, b) ♦), (a, b) — конечное число подинтервалов (a, JCj), (xi xg), (x „yb) Каждая вибрация y (x) меньше любого положительного числа b. Пусть $ будет любым числом между a и b. Поскольку 9 (*) непрерывно относительно x-b, мы можем найти интервалы (S-e, S + e), где вибрация o (jt) меньше, чем S. Конечно, у каждого есть бесконечное количество таких интервалов. E и каждый S. Если условие выполняется с определенным значением 5, все меньшие значения выполняются. какова стоимость е
Приемлемо и конечно зависит от С. Назовите интервал, связанный с точками £ и L интервал Если = = a, вы можете определить интервалы (a, a-j-e) с одинаковыми свойствами (и, следовательно, бесконечно много таких интервалов). Эти интервалы называются o интервалами для a, и аналогичным образом определяют 8 интервалов для b. Теперь рассмотрим систему интервалов, образованную всеми восемью интервалами всех точек из (a, b).
Если нет оснований предполагать, что действительное значение e для одного значения является допустимым для другого значения. Людмила Фирмаль
Эта система явно удовлетворяет условию теоремы Гейне-Бореля: каждая внутренняя точка в интервале (g, b) представляет собой по меньшей мере одну внутреннюю точку в интервале системы I, а a и b — каждый конец Хотя бы один __ ■ интервал. Так что вы можете -Нажмите, чтобы выбрать такую систему G а — с конечного числа интервалов Фиг система / То же свойство, что и /.
| Основное свойство непрерывной функции | Непрерывные функции от нескольких переменных |
| Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля | Обратные функции |
Примеры решения, формулы и задачи
| Решение задач | Лекции |
| Расчёт найти определения | Учебник методические указания |
- Интервалы, составляющие систему / ‘, обычно перекрываются, как показано, например, на фиг.3. 31. Однако их ребра четко делят (a, b) на конечную систему интервалов. Каждая секция включена в секцию с Γ, и каждая вибрация cp (*) меньше 8. Поэтому теорему я доказал. Теорема II. При заданном положительном числе a, делящем интервал (a, b) на подинтервалы длины меньше m, число v \ такое, что каждое колебание φ (x) меньше 8 * Можно найти) Возьмите 8, и, как в теореме I, конечно
Система частичных сечений, где вибрация cp (jt) меньше 8. Пусть tj минимальная длина этих подинтервалов из y. Если мы разделим (a, b) на части, длина которых меньше m, каждая такая часть должна полностью уместиться в два последовательных подраздела]. В результате, согласно (3) в 104, вибрация φ (π) каждой части, длина которой меньше m, не может превышать в два раза максимальную вибрацию <p (Λ ‘) в частичном сечении системы y. Следовательно, 2Slf, т.е. меньше, чем b Эта теорема играет основную роль в теории определенных интегралов (см. Главу VII).
Без помощи этой или аналогичной теоремы невозможно доказать, что функция, продолжающаяся в одном интервале, имеет интеграл в этом интервале. Людмила Фирмаль
