Оглавление:
Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля
- Интервальная система на линии. Теорема Гейне – Бореля. Здесь мы обратимся к некоторым доказательствам теорем, связанных с колебаниями функций. Это играет очень важную роль в теории интеграции, как будет объяснено позже. Эти теоремы основаны на одной общей теореме для расстояния на прямой. Предположим, что задана система линейных интервалов, то есть набор, в котором каждый член является конкретным интервалом (а, (3).
Число конечное или бесконечное: может перекрываться, может не перекрываться 1), любое количество этих интервалов может полностью принадлежать некоторым из них.Вот несколько примеров таких интервальных систем. Мы вернемся к рассмотрению этих систем позже. (1) Если интервал (0, 1) делится на n равных частей, полученные n интервалов образуют непересекающуюся интервальную конечную систему, охватывающую интервал (0, 1). (2) Получить каждую точку $ в интервале (0, 1) и связать ее с интервалом e, — +)). Где — положительное число меньше 1.
Никаких ограничений на эти интервалы не накладывается. Людмила Фирмаль
Назначьте интервал (0,) для точки O, назначьте интервал (1, 1) для точки 1 и обычно отбрасывайте часть каждого интервала, которая оставляет интервал (0, 1). Таким образом, ясно, что мы определяем бесконечную систему интервалов, и многие из них перекрывают друг друга. (3) Возьмите разумную точку в разделе (0, 1) р Интервал точки совпадения j__ \ I B3 ‘I’ B3) где е положительно и меньше 1. В y> и в этих двух случаях часть раздела, которая покидает раздел <0, 1), отбрасывается. Тогда получите бесконечно разнесенную систему. р Интервал, соответствующий бесконечному числу рациональных чисел р -Другие очки. Я
Теорема Гейне Бореля. Предположим, что при заданном интервале (a, b) и интервале системы I каждый член содержится в (a, b). Далее предположим, что у вас есть следующие свойства: (1) Каждая точка в интервале (a, b)>, отличная от a и b, находится в пределах хотя бы одного {) интервала System I. (2) a — левый край, а b — правый край хотя бы одного расстояния от /. Затем в Системе I вы можете выбрать конечное число интервалов, составляющих систему со свойствами (1) и (2). знает, что a — левый край хотя бы одного интервала / интервала (a, aj). Я также знаю, что я внутри, по крайней мере, одного интервала /. не соответствует б. Если ap соответствует b после конечного числа шагов, доказательств больше нет.
| Непрерывные функции действительного переменного | Колебание непрерывной функции |
| Основное свойство непрерывной функции | Непрерывные функции от нескольких переменных |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Вал с нужными характеристиками, выбранный из /. Если a никогда не совпадает с b>, точки a, a3, a3, … имеют тенденцию находиться в некотором ограничивающем положении, потому что каждый находится справа от предыдущей точки. Однако эта предельная точка может быть где угодно в (q, b). Теперь предположим, что показанная конфигурация продвинута всеми возможными способами, чтобы получить все виды последовательностей, такие как alt a, av … Затем мы докажем, что существует хотя бы одна такая последовательность, которая достигает b после конечного числа шагов. Есть две возможности для местоположения точки I в (a, b). 1 ° £ находится слева от определенной точки последовательности или 2 ° не встречается. Разделить точку I на две б, б а; ar £ a3 £ ‘; (фигура ТАК
Доказывая, что класс R не существует, теперь каждая точка принадлежит классу L. Если класс R существует, L находится полностью слева от R, а классы L и R являются действительными числами между a и bt, определяющими сечение, которому соответствует конкретное число £ 0. Точка 0 находится внутри интервала 7, например, принадлежит (£ ‘, £ «)> и принадлежит L.
Класс L и R, либо 1 °, либо 2 °. Класс L, безусловно, существует, потому что все точки в интервале (a, aY) принадлежат L. Людмила Фирмаль
Следовательно, слева от члена последовательности. Тогда интервал (£’, E») L находится справа от £ 0 как интервал (am dn + 1), соответствующий a как последовательность, и эго противоречит определению R. Следовательно, класс R невозможен. Следовательно, каждая точка S принадлежит L. Здесь b — правый конец интервала (blt b) из /, а b принадлежит L. Тогда есть член последовательности alt. Получите интервал (an, an +,). • Получить конечную систему интервалов с требуемыми свойствами, используя соответствующий интервал an (£ ,, b). Теорема доказана. В свете этой теоремы полезно рассмотреть пример, описанный на страницах 194-5.
(1) Здесь условия теоремы не выполняются. Точка — и не Не принадлежит ни к одному разделу из /. (2) Здесь условие теоремы выполнено. Система расстояний (О, 2е), (с, 3с), (2с, 4е), …, (1-2е, 1), Необходимые свойства соответствуют точкам 2e, 3e, …, 1-e. (3) В этом случае теорема может быть использована для доказательства того, что существует точка, которая не принадлежит ни одному из интервалов в Системе I, для достаточно малого c в интервале (0, 1). Если каждая точка в интервале (0,1) находится в пределах определенного интервала от I (если есть определенное резервирование для конца), она имеет те же свойства и, следовательно, общая длина равна 1.
Однако есть следующий интервал. Если q = 1 и q— 1, два расстояния общей длины 2e Расстояние между каждым оставшимся значением q. Q Следовательно, общая длина любого конечного числа интервалов I не может превышать 1r произведения в серии. 1 + 1 + A + A + + 2 ‘+ 3 ”+ 4” +’ » ‘ Это Ch. VIII, сходятся. Таким образом, если e достаточно мало, предположение о том, что каждая точка в интервале (0, 1) находится внутри одной из систем / интервалов, является противоречивым.
Это доказательство неоправданно сложно, и наличие точек в интервалах (0, 1), которые не принадлежат ни одному из интервалов в системе, непосредственно следует из того факта, что сумма длин этих интервалов меньше 1. Может выглядеть так. Если система расстояний бесконечна), она неочевидна и может быть строго доказана только с помощью теоремы Гейне-Бореля.
