Оглавление:
Пределы комплексных функций и рядов с комплексными членами
- Пределы рядов со сложными функциями и сложными членами. До сих пор в этой главе мы рассматривали только действительные функции l и вещественные ряды. Но не сложно распространить нашу концепцию. Определение, когда значение функции или член серии является сложным. Предположим, что 9 (i) является сложным и равным P (l) + / o (l) e Где p (n) и a (A) — действительные функции от n. И если p (x) и o (x) выходят за пределы r и s при η-> ω, соответственно, // го6 6 [yd & jf 9 (x) является пределом I = r- lim9 (/ z) = /.
Сходятся и имеют сумму r и s соответственно. Утверждения Kj + u4-; -u3 + … сходятся и имеют сумму /. Конечно, общее количество + + ®4 + … + 0 i- *, сходятся к пределу / как ко. Для вещественных функций и рядов мы также определили функции и ряды, которые расходятся и колеблются на границе и без границ.
Точно так же, если un — комплексное число, равное vn-j iwn), ряд Сходятся и суммируются / = r — [- i? + + + + + »* + ••• Людмила Фирмаль
Однако в комплексных исследованиях функций и рядов, в которых необходимо учитывать поведение p (i) и o (l) одновременно, число случаев настолько велико, что нет смысла перечислять их. Если требуется более детальная проверка этого типа, просто изучите действительную и мнимую части отдельно.
Читатель просто доказывает следующую теорему. Это очевидное обобщение теоремы, уже доказанной нами на случай вещественных функций и рядов. (1) Когда lim ((=) = /, ш ^ 9 (η + p) = I для фиксированного значения p (2) Если ряд m4 — (- «a + сходится и имеет сумму / // + также сходятся и имеют общее aJrb — \ — c- \ -…- \ -k — \ — l и + ip + bH —- также сходятся Мое общее — и —…- ир. (3) Если lim 9 (n) = 1 и lim <] / (π) = m, lim {9 + φ (η) \ = / + / u.
| Общий принцип сходимости для ограниченной функции | Предел z |
| Неограниченные функции | Геометрическая прогрессия 1+f+z++…c комплексным z |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- (4) Когда limθ (π) = f, lim co (n) = hi. (5) Если lim9 (/!) = / And lim ty (n) = m>, то lim 9 (n) ^ (n) = lm. (6) Когда Uy -J- yy-) -… сходится к сумме I и vl-jv ^ -f- • Когда он сходится к сумме m, (u {v {) -f- ( 22- — f -… сходится к итоговому значению 1 — \ — t. (7) Если + сходится к сумме /, то ki {- {- kig -j- … сходится к сумме kl. (8) Когда Hj-j- «2 4 ~» s ~ T ••• сходятся, Htkl = 0. (9) Если —J— и ^ —mj -j— … сходятся, ряд, состоящий из конкретной группы в скобках его членов, будет сходиться, а сумма всех таких рядов будет исходным рядом
Равно сумме В качестве примера докажем теорему (5). Пусть? (?) = P ()) — fw ()), Φ ()) = p ‘(() + (()) / = r + / s, w = r’ + zV, тогда P (a) -r, o (n) -s, p ‘(i) -r \ b’ (i) -s ‘ но 19 00 А / {* (*)} »+ {• (« И * Сходится к нулю. Если и p (x), и a (f) сходятся к нулю, ясно, что u] / «pa + f сходится к нулю. Обратное предложение состоит в том, что | p | и | ® | p * -fs *. (11)
В общем случае, чтобы 9 (l) сходилось к пределу I, необходимо и достаточно следующего: | 9 (I) — / | Сходится к нулю. Людмила Фирмаль
Ясно, что если и p (l), и o (l) сходятся к нулю, u) / «pa + сходится к нулю. Обратные предложения — это | p | и | in | (11) В общем случае, чтобы 9 (n) сходилось к пределу I, необходимо и достаточно следующего: | 9 (I) — / | Сходится к нулю. В этом случае 9 (x) — / сходится к нулю, и теорема (10) может быть применена. (12) Теорема 1 и 2 с. 83 и 84 все еще действительны для комплекса 9 (и) и un. Мы должны показать, что необходимым и достаточным условием для 9 (i) для достижения предела является реализация неравенства. Когда n2> η> n0.
Для cp (x) — »/, p (x) — * r и c (x) —► s может найти числа n \ и n \ следующим образом: IP M-P M [Cy% I nt n1 <лв. В результате p (l) стремится к пределу, и аналогично o (l) стремится к пределу.
