Оглавление:
Функции от n, монотонно возрастающие вместе с n
- Функция n, которая монотонно возрастает с n. Особый, но особенно важный класс функций — это класс функций, которые изменяются при увеличении n только в одном направлении. При увеличении n оно всегда увеличивается (или уменьшается). -9 (n) всегда увеличивается, поэтому, если 9 (n) всегда уменьшается, нет необходимости рассматривать каждый тип функции в отдельности. Доказанные теоремы для одного типа немедленно переносятся в другой тип.
Обратите внимание, что 9 (n) не исключает случай, когда он имеет одинаковое значение для нескольких значений n, но исключает только возможность уменьшения. Так что функция n = 0, 1, 2, 3, 4, … равны 1, 1, 5, 5, 9, 9, …, Увеличивается с п. Определение включает функции, которые остаются постоянными, начиная со значения n.
Определяющая функция 9 (n) называется функцией, которая монотонно увеличивается с n или 9 (возрастающая функция n, если n + f для всех значений n). Людмила Фирмаль
Следовательно, 9 (i) = 1 увеличивается монотонно. Если 9 (n + 1)> 9 (n) для всех n, мы говорим, что 9 (n) строго возрастает. Для этого класса функций справедлива следующая очень важная теорема:Теорема. Если 9 (n) монотонно возрастает с n, то (1) 9 (l) ограничено либо тем, что n стремится к ω, либо (2) 9 (Λ) -> 00. Это означает, что только два из наиболее вероятных действий, возможных для этого типа функции, могут быть выполнены.
Эта теорема является простым результатом теоремы Дедекинда (см. § 17). Разделите действительное число ξ на два класса L и R и свяжите ξ с L или R в зависимости от того, выполняется ли неравенство 9 для значения η (и, конечно, Для всех больших значений) или неравенство 9 (i) <^; для всех значений Класс L, безусловно, существует. Класс R может не существовать. В противном случае, независимо от того, насколько велико указанное число A, c (x)> D для всех достаточно больших значений n, С другой стороны, если R присутствует, классы L и R образуют сечения в вещественной области в смысле .
| Определение предела | Другое доказательство теоремы Вейерштрасса |
| Колеблющиеся функции | Предел х при n стремящемся к бесконечности |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Пусть a будет номером, соответствующим этому разделу, а b будет положительным числом. Тогда для всех значений 9 (n) a-8 Для значения n и, следовательно, для всех достаточно больших значений n. a-S 9 (n) ^ Любое достаточно большое значение n, т.е. 9 (я) — * а. Обратите внимание, что, вообще говоря, все значения n <p (n) <g. Потому что если 9 (n) равно a для некоторого значения n, оно должно быть равно a для всех больших значений n. 9 (i) не может принимать значение a, если все значения <p (i), начинающиеся с a, не равны a. В последнем случае а является максимальным числом L. В противном случае L не имеет максимального числа.
Вы можете видеть, что этот результат очень полезен для вашего приложения. Следствие 2. Если 9 (n) монотонно возрастает с ft и k для всех значений n, 9 (n) стремится к пределу. Этот предел K- Обратите внимание, что предел может быть равен K \, если: mer, 9 (n) = 3—, 9 (/ z) значения меньше 3, но ограничены 9 (l) — 3.
Вывод 1. 9 (l) K для всех значений n, если 9 (l) монотонно возрастает с η. Людмила Фирмаль
Если рассуждение 3.9 (s) монотонно возрастает с n и достигает предела, 9 (л) ^ лим 9 (л) Для всех значений Читателя просят сформулировать соответствующую теорему и результат, когда 9 (n) уменьшается с ростом n. 70, важность этих теорем часто связана с тем, что, не прогнозируя значение этого предела, он дает возможность определить, является ли конкретная функция η-►co от nt до определенного предела. это. Если вы знаете, каково ограничение, вы можете применить атрибут, если он существует Эта ситуация применяется, например, когда 9 (/ 2) = — ^ -.
Здесь, / Л Очевидно, что предел может быть только нулем. Тем не менее, До предела. В этом случае, если есть ограничение, не совсем понятно, чему оно равно, и предыдущий атрибут, содержащий / (в любом случае, напрямую), нельзя применить к решению вопроса о том, существует ли я Это понятно. Конечно, эта функция может использоваться косвенно, чтобы доказать, что / не существует, вызывая конфликт. Например, если <p (x) = (-l) rt, ясно, что / должно иметь как 1, так и -1, что явно невозможно.
