Сечения в области действительных чисел

Сечения в области действительных чисел

• Раздел действительных чисел. 4-7 нас в пункте «Раздел *» полей рациональных чисел, то есть разделов рациональных чисел (или только положительных рациональных чисел) Номер) до двух классов L и R со следующими характерными свойствами: (1) Каждое количество типов задач принадлежит только одному из этих классов. (2) Оба класса существуют. (3) Каждое числовое значение класса L меньше любого числового значения класса R. Ничто не мешает вам применить эту идею ко всему Это оказывается очень важной операцией, как читатель увидит в следующих главах.

Далее предположим, что число со свойством P меньше, чем число со свойством Q. Набор чисел со свойством P называется нижним или левым классом L, а набор чисел со свойством Q называется верхним или правым. Класс R x ^} / «~ 2 and Q: lr>] /» «2. Обратите внимание, что пары свойств, достаточной для определения сечения в поле рациональных чисел, недостаточно для определения сечения Важно, чтобы действительное число, такое как x <\ / ~ 2 * и x> yk2 «, или пара свойств yakh <2» (если ограничено положительным числом) вызвало эту ситуацию

Таким образом, предположим, что x), P и Q — два взаимоисключающих свойства, каждое из которых является действительным числом. Людмила Фирмаль

Из этих характеристик Y 2 не подпадает под классификацию в реальном поле. Возможны два случая2). L содержит максимальное число f / или R содержит минимальное число r. Оба эти случая не происходят одновременно. Если L содержит максимум Числа I и R являются наименьшим числом r, а число ^ (/ r) Он не принадлежит ни одному классу, потому что он больше всех чисел L и меньше всех чисел R. С другой стороны, один из этих случаев должен произойти 3). L {и Rl обозначают классы рациональных чисел, принадлежащих L и R соответственно. Классы L {и Rx затем определяют секцию рациональных чисел. Необходимо различать два случая.

Ly может содержать максимальное число а. В этом случае также должно быть максимальное количество L. Если нет, вы можете найти большее число в L, как р. Но между воздухом существует рациональное число, которое меньше 8, поэтому оно должно принадлежать L и, следовательно, должно принадлежать Lu, что приводит к несоответствиям. Следовательно, а является максимальным числом L. С другой стороны, максимальное количество не может быть включено. В этом случае рациональное сечение области, определенное Z.J и Rit, дает действительное число a. Это число a должно принадлежать либо L, либо R.

• Решение задач по высшей математике

Континуум	Точки накопления
Непрерывное действительное переменное	Теорема Вейерштрасса

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

• Если вы принадлежите к L, вы можете использовать только что созданный аргумент, чтобы указать, что это максимальное число L. Точно так же, если он принадлежит R, это минимальное число. В R Таким образом, в любом случае L содержит максимальное число, а R содержит минимальное число. Таким образом, секция действительного поля «соответствует» некоторому действительному числу в том же смысле, что и секция рационального поля, но не всегда может соответствовать некоторому рациональному числу. Вещественные поля не приводят к дальнейшему обобщению понятия чисел. Основываясь на рациональных числах, мы обнаружили, что концепция сечения приводит к расширению концепции чисел, то есть концепции действительных чисел.

Он обладает свойством полноты, которого все чаще нет в наборе рациональных чисел. Это свойство математической целостности обозначено термином непрерывность. Результат можно сформулировать следующим образом:Теорема Дедекинда. Если действительное число делится на два класса L и R, (1) Каждое действительное число принадлежит только одному из этих классов, (2) Каждый класс содержит хотя бы одно число, (3)

Таким образом, можно ожидать, что идея сечения в реальном поле приведет к более общей концепции, но вышеприведенный обзор показывает, что это не так, а скорее целое или континуум всех действительных чисел. Людмила Фирмаль

Каждое значение L меньше любого значения R, Далее, существует число a, обладающее свойством того, что все числа под ним принадлежат L, а все числа над ним принадлежат R. Само число a может принадлежать одному из этих классов. Приложение должно рассматривать только разделы, попадающие в определенный интервал, а не все числовые разделы (т. Е.

Конечно, он разбит на два класса со свойствами (1), (2) и (3). Такой раздел может быть преобразован во весь числовой раздел путем объединения L со всеми числами, меньшими ^, и со всеми числами, превышающими y. Слово «действительное число» заменяется словом «действительное число интервалов (0», и в этом случае число, удовлетворяющее неравенству