Оглавление:
Континуум
- Непрерывный. Целое всех рациональных и иррациональных действительных чисел называется арифметическим континуумом. Предположим, что прямая A, рассмотренная в разделе 2, состоит из точек, соответствующих всем арифметическим числам.Это континуум и не включает в себя другие пункты. ») Прямая точка, комбинация которой называется линейным континуумом, представляет собой очень полезное изображение арифметического континуума.
. Вот несколько дополнительных примеров, чтобы показать, сколько специальных классов идентифицировано. Грубо говоря, грубо говоря, это незначительная часть бесконечного разнообразия чисел, которые образуют континуум. (1) Рассмотрим более сложные иррациональные выражения. Например, Z = V44-j / i5 + V ~ vrs.
Например, мы рассмотрели основные свойства небольшого числа вещественных классов, такие как рациональные числа и квадратичная иррациональность, достаточно подробно Людмила Фирмаль
Предположение о существовании z может быть обосновано следующим образом: Сначала мы покажем, что существует число y-Y 15, где y2 равно -15, как в пункте 12, а затем мы можем определить числа 4 + f / T5 и 4-Y15, как в пункте 10. Далее рассмотрим уравнение для zt r \ = 4 + Y15. Правая часть этого уравнения невозможна. Однако те же рассуждения, которые привели к предположению о существовании вещественного числа x с x * = 2 (или другого рационального числа), позволяют сделать вывод, что существует число zlf с z \ =. = 4 1 ^ 15. Поэтому определите zv-V 4 — {-] / r15 и определите аналогично Zi — V 4- ^ 15. Наконец, поместите z — zt — \ — zs как в Разделе 10. Это легко проверить z9 = 3z — \ — 8,
И нетрудно непосредственно доказать существование особенности, удовлетворяющей этому уравнению. Во-первых, если z существует, он должен быть положительным. 2 = -С дает С — ЗС4-8 = 0 или 3-С2 = 8 / С. Но это невозможно, если C положительный. C * <3, C <2 и, следовательно, 8 / C> 4, тогда как 3 означает C * <3. Кроме того, уравнение не может быть заполнено двумя разными числами zx и za. В случае z \ = 32×4-8, *! = & «4-8, z и zt положительны, z > 8, z \:> 8 или Zi> 2, za> 2, что невозможно. Вычитая второе из первого уравнения и деля на ^ -zt, *! + + ^ = Следовательно, не более одного z с 2 * = 3z -f-8 не является рациональным числом. *) Это предположение является, во-первых, принятой гипотезой в связи с тем, что этого достаточно для геометрических целей, и, во-вторых, для предоставления удобной геометрической иллюстрации аналитического процесса. Изучение основ геометрии не является частью задачи, потому что геометрический язык используется только для пояснительных целей.
| Квадратичные иррациональности | Непрерывное действительное переменное |
| Некоторые теоремы о квадратичных иррациональностях | Сечения в области действительных чисел |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Это уравнение должно быть целым числом и делителем 8 (см. Пример II.3). Однако одно из чисел 1, 2, 4 или 8 не удовлетворяет уравнению. Положительное рациональное число g: можно разделить на два класса, L> R, в зависимости от x3 Zl: +8. Если x принадлежит R и y> x, то y> jc> 2 и y3-3y- (x3-3 *) — {y-x) {y’2 — {- xy x’2-3)> 0. Аналогично, если x принадлежит L и >> <l: можно показать, что y также принадлежит L. Наконец, ясно, что оба класса L и R существуют.
Это должно удовлетворять нашему уравнению. Читатели, которые знают, как решать кубические уравнения методом Кардано, могут найти явное выражение для z непосредственно из уравнения. (2) Обоснование, примененное к уравнению n: 3 = Zl: -f-8 выше, также может быть выполнено для уравнения. х * = х — \ — 16 (В этом случае это немного сложнее), но мы заключаем, что существует уникальное положительное число, которое удовлетворяет этому уравнению.
Они определяют площадь поперечного сечения области положительного рационального числа, то есть области положительного действительного числа z. Людмила Фирмаль
Однако в этом случае невозможно получить явное выражение для x, состоящее из комбинации маршрутов любого порядка. В общем случае (очень трудно доказать это утверждение) известно, что невозможно найти такое выражение для корня уравнения порядка больше 4. Таким образом, помимо иррациональных чисел, которые могут быть выражены в виде чистых или смешанных квадратичных иррациональных чисел, или комбинаций рациональных корней и корней более высокого порядка, существуют и другие иррациональные числа, которые также являются корнями алгебраических уравнений, но не могут быть выражены в качестве , Такие выражения можно найти только в самых особых случаях. (3)
Однако после добавления к списку иррациональных чисел любого вида корня уравнения (такого как Xs = x -f-1 b) континуум, который не может быть выражен с использованием комбинации корней степеней из рациональных чисел Это далеко не исчерпывает иррациональное число. Нарисуйте круг диаметром AQAit. То есть равен 1. Естественно предположить, что этот круг имеет определенную измеримую длину. Эта длина обычно На это указывает тф. Доказано, что число 7r не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, такими как 7G «-n, 7G3 = / г, = мк- / г, Где n — целое число Итак, мы встретили иррациональное число, но оно не принадлежит ни к одному классу иррациональных чисел, которые мы исследовали до сих пор.
Этот номер я не Изолированный особый случай. Напротив, только специальный класс иррациональных чисел является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, среди которых более особый класс представлен через корни рациональных чисел.
