Переход к пределу под знаком интеграла

Оглавление:

Предельный переход под знаком интеграла

Предельный переход под знаком интеграла. Здесь мы рассматриваем интегралы с бесконечными пределами Ноль ноль /(г)=§/(х,г)1х,(1) Но Это зависит от параметра y (который изменяется в области 3^) и доказывает набор теорем, подобных теореме n°296-298, установленной для интегрирования в собственном смысле. Переход

от одного к другому осуществляется по тому же плану, что и в n°266-270, при переносе свойств конечной суммы функций в случае суммы бесконечного ряда функций равномерная сходимость интегралов по форме(1) здесь играла бы ту же роль.

Таким образом, руководящей идеей для нас является аналогия бесконечного ряда и неправильного Людмила Фирмаль

интеграла, что неоднократно подчеркивается[n°284,301]. Начнем с задачи о предельном переходе под знаком интеграла, распространенного на бесконечный интервал. Теорема 1n°296 не применима в этом случае:даже если весь бесконечный интервал, функция/{x, y) в n o m E R n o y — ^Y R A стремится быть предельной функцией CP (x). В качестве примера можно привести функцию (n=1,

2, 3,…): n2x2 (x>0),§3. Использование равномерной сходимости интеграла 155 В обычном дифференциальном методе легко увидеть, что максимальное значение этой функции достигает x= / / d-и равно y-bn — >OO это значение стремится к нулю, поэтому n OO[0, OO] , но Интеграл не равен b. ООО /»(x) y x=1o n — >OO вообще не стремится к

нулю. Условие, достаточное для допустимости предельного перехода, задается следующей теоремой: теорема 1. Функция/(x, y), определенная для y из X^a и y: 1) является более смежной, чем x, и y->y$стремится быть предельной функцией CP (x) — p a относительно x в каждом конечном интервале[a, A]кроме того, 3)Если Интеграл (1) сходится p a с n o m E p N o для y в конечном интервале, ОО ОО Это S/(x,

y) yx=s CP (x) yx. (2) у-у’% % Во-первых, обратите внимание, что функция CP (x) также[n°295,2°]непрерывна. По условиям равномерной сходимости[n°302] для любого e^>0 существует такое A0^>a. ^/(х, г)/А> * 0. Re-3^[n°296, под знаком интеграла, А §a мы имеем: 156CHAP. Переменная[304 по XVIII век.Интегралы Если мы возьмем число e^>0 случайным образом, мы можем сначала f и K si R o второй и третий члены справа(независимо от _u!)>И сделать y z>0 к первому члену[n°296]. Затем для указанного y、 <ми> Это приводит к (2).

Таким образом, применяя обобщенную теорему Дини[n°295,3°], мы можем Людмила Фирмаль

получить такие результаты. Пусть / (x, 3/) n E p R R s n A для x^a для x существует тенденция, o z R A s t i увеличение T I y до предельной функции CP (x), также на заданном интервале и из существования интеграла. И §(г (х)ЛК (3) Но Отсюда уже следует как существование интеграла (1) (для всех y из 3^), так и существование Формулы (2). Согласно приведенной выше теореме, при заданных условиях тенденция функции/(x, y) к CP (x) становится p a в n o m e R n s m

относительно x на любом конечном интервале. Кроме того, благодаря теореме 1n°285 существует Интеграл(1) /(х, г)<р(х). Функция CP(x) одновременно выполняет роль мажоранта[n°302], что обеспечивает сходимость интеграла (1). Таким образом, выполнены все условия для применения предыдущей теоремы. Маргинальный переход под знаком интеграла лучше всего обрабатывается относительно последовательности функции{L (x)}.* Пусть сериал: вот, например, какой формат получается на ТВ и Е И Л Е Д П-1§3. Используя равномерную сходимость интеграла 157 если последняя из той же

суммы o (интервал[a, 4 » co]интегрируема для этих значений x n e p R r s, в этом интервале ряд может быть интегрирован n o h l e n o. Наконец, простым следствием теоремы (1) является также теорема непрерывности интеграла (1) над параметрами. Теорема 2 определяет функцию/(x, y) и значение и интервал x^a (как функцию двух переменных) [C, C?Я не уверен. Если Интеграл(1) сходится равномерно относительно y в интервале[C,y\, то он является непрерывной функцией параметра y в этом интервале. Действительно, как мы

видели в n°296, когда x изменяется в любом конечном интервале[a, A], мы можем перейти к функции y-_u0/(x, y) (где _u0-любое h A S t T n o e e значение y), а по отношению к x, N o m e R n и, согласно 1, в Интеграле (1), мы можем перейти: ООУ ООУ НТ и (г)=СТ с/(х,г}LХ-с/(х,г г) s1x=1(У0), У-УО у^УО Л Л А а Наше заявление доказывает это. Аналог теоремы Дини [n°267]просто доказан: теорема 3. Если непрерывная функция/(x, y) не имеет отношения к t p и TSAT ln a, то в качестве функции

параметров от непрерывности интеграла (1) следует его равномерная сходимость. В этом случае непрерывная функция y [теорема 2n на°296] Но /(>По) Но Таким образом, увеличение a-b o z R a C t e t I, согласно обобщенной теореме Дини, n°295,3°]стремится к своему пределу (1) относительно y.

Условие и достаточные признаки равномерной сходимости.	Интегрирование интеграла по параметру
Случай интегралов с конечными пределами	Сведение к обыкновенному двойному интегралу