Предельный переход под знаком интеграла

Оглавление:

Предельный переход под знаком интеграла

Предельный переход под знаком интеграла. Здесь мы учитываем Интеграл (1), зависящий от параметра y, и сначала ограничим его случаем конечных интервалов[a, B] и непрерывных функций.

Предположим, что область Y изменения параметра y имеет конденсацию point.In Uo, мы ставим задачу о P R e d e l E функции (1) в Y-+Y-теореме 1. Если функция/(x, y) при постоянной y равна

[a, x, y — >_u0, то она стремится быть равномерно связанной функцией (2) для Людмила Фирмаль

x, тогда равенство b и t/0>)=и t1/(x, y) (1x — \y (x) L x. (6) З-З ‘О З-З’ О Д Л Д О К А за т е л ь с т в о*). Непрерывность предельной функции CP (x) уже известна[n°295,2°]. Учитывая произвольное число e^>0, вы можете видеть, что число типа(0) равно^>0. После этого pri-_uo будет b b b b ля. Б — ч(Х)\Л X<^(Б-а), Но Это доказывает формула(6). Уравнение(6) можно переписать как b и t\/(x, y) (1x=I и t/(x, y) yx. У-

УО%л з-з’o297]§1. Элементарная теория 141 Если он существует, скажем, что предельный переход параметра разрешен при»от z n a к o m и n t e g R a A l a». Предполагая все u<^u, он основан на обобщенной теореме Дини[n°295,3°]. Если функция/(x, y) является постоянной y n E p R s в x из[a,B], и когда y увеличивается, она стремится быть n e p r e r

s в той же предельной функции, m o n o n r r s. Рассмотрим задачу о функции p e p s и функции (1) в n O s t,в заключение, в предположении, что сама область Y является конечным интервалом[s, y]. Теорема 2 если функция/(x, y) определена и непрерывна, как

функция двух переменных,в прямоугольнике[a, B;C, y\, то Интеграл (1) становится непрерывной функцией параметра y в интервале[C, y]. T e l s T V O для D o K a. учитывая равномерную смежность функции/

(x, _u) [n°137], для любого e^>0 существует 8^>0 из неравенства 1х «_y|<8,\у"_y|< § Неравенство В частности, x'=x"=x, y g=y, y"=y\next,|_u-Z^o]< Людмила Фирмаль

S to a to o in o независимо от того, что b s l o x,\ / (x, Y—.УО)я<е. Таким образом, функция/(х,3/)стремится к/(Х,_u0)П А С Н О М е р н о Для X, когда y стремится быть какого-то определенного значения _u0.УО)у-у * Х Х Или И t (u)=1 (Uo)} У~ * УО Наше заявление доказывает это.

Сведение к обыкновенному двойному интегралу	Дифференцирование под знаком интеграла
Равномерное стремление к предельной функции	Интегрирование под знаком интеграла