Оглавление:
Движение в кулоновом поле (параболические координаты)
- Движение в кулоновом поле (параболические координаты). Письменное разделение переменных уравнения Шредингера Сферическая координата ном, всегда подвижная В любом центросимметричном поле. В случае кулона Чтобы отделить переменные, Так называемые параболические координаты.
Решение проблем Движение кулоновского поля в параболических координатах Полезно при изучении ряда конкретных заданий Например, направление пространства подсвечивается Потому что существует внешне (помимо кулона) Поле (§77).
параболоиды Поверните ось вдоль оси Людмила Фирмаль
Параболические координаты r], (p определяется в виде гуанако X = lDg] SOB (p, y = y / ^ smip, z = — (Ј-r]), = y / x2 + y2 + z2 = — (Ј + 77) Или наоборот: Ј = g + z, g] = g-z, (p = arctan-; (37,1) (37.2) Ј и rj выполняют значения от 0 до oc, cp — от 0 до 2tr. более Con = const и rj = const — z и сфокусируйтесь на начале координат.
Это Система координат ортогональна. Длина элемента определяется выражение ^ j2 _ i ± ZZ ^ 2 + i ± Hdrf + ^ rjdip2 (37,3) И объемные элементы: dv = + r}) dЈdrid <p. (37,4) Оператор Лапласа Из (37.3) следует выражение 4- ° W $, \ oЈΦ / d rj + V totb) /. T)} Уравнение Шредингера частиц кулоновского поля сила тяжести A = Ј + V b- (37-5) И = — = —— gЈ + g] Принять форму 4 — (^ -) + — (V—)] + — ^ 4 + 2 (e + -) ^ = 0 (37,6) VdЈJ drj \ drj) \ Јrjdtp VЈ +? ? / Найти собственную функцию f в виде Φ = / 1 (0/2 ^) e ^, (37,7) Где mn — магнитное квантовое число.
- Заменить это выражение Умножьте (37,6) на (% + r)) / 4, чтобы разделить изменения Ј и 77, получаем уравнение о / 1 и / 2 т) + | {- ^ + AΛ = o, h- ^ + AL = o, (37,8) Где «параметр разделения» /? х, /? 2 связаны друг с другом Ношение _ _ „ /? 1 + / 32 = 1 (37,9) Рассмотрим дискретный энергетический спектр (E <0).
Я представлю Количество вместо E, Ј, rj n = — ± = t pi = ^ \ / -2E = p2 = ^, (37.10) н н Тогда получите уравнение D. d2f1 1 dfi | [~ 1, 1 ^ | w | + 1 дп2 пи дпи / 2 был введен с той же формулой NYA = In1Ш1 + 1 I Q N + 1, / Э / 0 7 1 0 \ ^ —— b n / 3i, n 2 = -J- ^ —— b pr2- (37.12) Как сделано в уравнении (36.4), / 1 большой пи, как е-> 1/2 и маленький пи pi-as P] 771 ^ 2.
Это также вырожденное гипергеометрическое уравнение Функция Людмила Фирмаль
Поэтому мы ищем решение, равное (37.11) формат fi (pi) = e ~ pi / 2plJnl / 2w1 (p1) (И то же самое для / 2) и получим уравнение для w \ piw ‘{+ (\ m \ + 1-pi) w [+ niwi = 0. . Решения, которые удовлетворяют конечным условиям Наши дети w 1 = F (-n 1, \ m \ + l, pi), Кроме того, ni должно быть неотрицательным целым числом.
Таким образом, каждое устойчивое состояние является дискретным Определяется в параболических координатах по трем спектрам Целое число: «параболическое квантовое число» n \ И P2, и магнитное квантовое число m. Номер n ( Квантовое число «) — (37,9) и (37,12) n = n \ + P2 + \ m \ + 1. (37,13) Конечно, для уровней энергии, предыдущие результаты тат (36,9). Для данного n число \ m \ может принимать другое n Значение между 0 и n-1.
Для фиксированных n и \ m \ число n \ Выполняет n- \ m \ значения от 0 до n- \ m \ -1. Для данного \ m \ вы также можете выбрать функцию с m = ± | w |. Для данного n, 71-1 2 (n-m) + (n-0) = n2 т = 1 Различные состояния в зависимости от результатов, полученных в § 36 Объем. Волновая функция дискретного спектра ^ nin2m Нормализуется по условию ОО ОО 27G J No.mn2m \ 2dV = i J J J \ ^ n1n2m \ 2 (C + v) d ^ d ^ dr] = 1. (37.14) 0 0 0
Форма нормализованной функции </ W n = 4 / n im (% n 2m (-) ^, (37,15) n \ n / \ n / \ Z2tv = -L | ™ | + (37. \ m \\ y p \ i6) Для волновых функций с параболическими координатами Напротив волновой функции сферических координат Он не симметричен относительно плоскости z = 0. Когда η> P2
Вероятность нахождения частицы со стороной z> 0 равна Противоположность верна для стороны z <0 и n \ <P2. Непрерывный спектр (E> 0) соответствует непрерывному Параметры уравнения /? х, /? Реальный спектр 2 Отношения (37.8) (Конечно, все еще актуально Низкий (37,9)); не пишите здесь соответствующий Общая волновая функция. Уравнение (37.8) считается /? х, /?
Уравнение «собственного значения» с величиной 2 (если E> 0) также зависит от комплексного спектра. соответствующий Соответствующая волновая функция описана в 135. Используйте их, чтобы решить проблему кулоновского рассеяния Вом поле. Существование устойчивого состояния \ n1n2m) Наличие дополнительных методов консервации (36.29).
С этими Состояние имеет особое значение наряду с энергией, Количество lz = м и аз. Вычисление диагонального матричного элемента Для оператора Az: Az = ni ~ n \ (37,17) Кроме того, uz = n \ -P2, и проекциями «моментов» являются ji и fc. ТП + П1-П2. ТП-П1 + П2 (ПП Ло \ Jlz = —— ——- = Ml, J2z = —— ——- = M2. (37.18) Эти свойства состояния \ n1n2m) (или эквивалентно {nfii ^))
Легко установить связь между волновыми функциями Состояние и волновая функция состояния | nlm). с того времени 1 = ji + j 2 от любого из этих методов описания Другой уменьшает проблему компиляции волновых функций При добавлении двух точек (объяснено в §106 ниже).
в Ji и j 2 состояния | nlm) и \ n1n2m) в терминах «моментов» \ j1j2lm) и | JiJ2M1M2) оба? Согласно (36.35) и (37.13) P 1 P1 + P2 + | w | / 971Ph 31 = 32 = — = ——- 2 ——- • (37.19) По общей формуле (106,9) — (106,11) Фп1т = ^ ^ (Z? T1 1 / ^ 1 / ^ 2) 5 C1 + C2 = т р-1 (37,20) Фп / XI112 ^ ^ (/, / i l f + ^ l> 21 1 / — ^ 2) ‘Фnlm 1 = 0 (Д. Парк, 1960).
Смотрите также:
| Падение частицы на центр | Возмущения, не зависящие от времени |
| Движение в кулоновом поле (сферические координаты) | Секулярное уравнение в физике |
