Оглавление:
Сферические волны в физике
- Сферические волны. Плоская волна fr = const • ехр ^ рг ^ Описывает устойчивое состояние свободного состояния Частица имеет постоянный импульс p (и энергию E = = р2 / 2м). Давайте рассмотрим устойчивое состояние, как это Наряду с энергией у него есть свободные частицы Проекция определенной величины и момента.
Вместо энергии Удобно ввести волновой вектор k = — = (33,1) n n v J Волновая функция состояния с моментом I и ее проекция t Имеет форму Pht = Rkliv) Ylm (d, <P), (33,2) Где радиальная функция определяется уравнением / (/ -1) R’L + r k’y + k-Rkt = 0 (33,3) (Формула (32,8) без U (r)).
и удовлетворяет условию Нормализация и взаимная ортогональность Людмила Фирмаль
Волновая функция Является непрерывным (относительно k) : I GkP’t’FytLU = 8W8mm, 8 (* ^). Взаимная ортогональность при различных f, v и w, t Угловая функция.
Функция излучения Нормализуется по условию 2Rm Rkidr = = 2mt8 (k’-k). (33,4) OO А 2 ‘ G о Вместо волновой функции «k / 2tg scale» Энергетическая шкала », то есть условия (Х) r2Rm REi dr = 5 (E ‘-E), о Тогда согласно общей формуле (5.14) 1 дк \ V2 1 (Х) / ■ <3 3 5 » Когда I = 0, уравнение (33.3) можно записать в виде rRk0) + k2rRk o = 0; d2 dr2 r = 0, конечное и условно-нормированное решение (33,4) (ср. (21,9)), Rk0 = 2 — ^^ Γ. (33,6) G
- Чтобы решить уравнение (33.3) с I f 0, сделайте следующие подстановки: Rki = rlXki- (33,7) Для ху есть уравнение x’i + 2- ^ x’y + k = \ 0y. Дифференцирование этого уравнения по r дает: \ s vt) 1 + U ^ _ 2, + Zx ^ ± l J2 + ZxXy = 0- Подставляя xy = rX / s, / + 1, он будет иметь следующий вид gg | 2 (/ + 2) / | 7 2 _ n X / M + 1 ~ X / s, Y-1 + Xfc, i + 1-0, Соответствуйте тому, что действительно должно быть Включает функцию Xk, l + 1.
Поэтому последовательно Функции xy связаны друг с другом отношениями. Xk, l + 1 = -Xiki (33-8) но (1 д \ л Xkl = () Хко, д-р д Xko = Rko определяется по формуле (33.6) (эта формула Конечно, любой Неподвижно). Так что в конце вы найдете Для радиальной функции свободного движения частицы: <33-9> (Коэффициенты k ~ 1 введены для нормализации — см. Ниже; коэффициент (-1) 1 — по соображениям удобства).
Получить радиальную асимптотическую формулу Если функция Людмила Фирмаль
Функция (33,9) Он представлен функцией Бесселя полуцелого порядка: Rkl = ^ f-J i + i / 2 (kr) = 2 kjt (кр); (33.10) Особенности, представленные в этом отношении M x) = 1/2 (г) (33.il) Это называется сферической функцией Бесселя 1). (33.9) — это большое расстояние, член Это не уменьшается наиболее быстро с r, как r-> os, Двойная производная синуса.
Все дифференциал Добавлен термин ферентирование, -sine d / dr, -7G / 2 Для аргументов получите следующую асимптотическую формулу: Rki и ^ sin (fcr-y). (33.12) Нормальная функция ням может быть выполнена по их асимптоте Общее представление, как описано в §21. горбыль Асимптотическая формула с использованием нормализованных функций (33.12) Rk® (33,6), функция R ^ i и функция, выбранная в (33,9)
Коэффициенты на самом деле правильно нормированы. Найти, вытянув sin kg около начала координат (small r) Сохраняйте только те условия, которые вы даете после дифференциации Минимум г 1): Так около начала, функция R ^ я как По общему результату (32.15). Некоторые проблемы (теория рассеяния)
Отображение волновых функций, которые не удовлетворяют нормальным В соответствии с состоянием конечностей и потоком частиц, Тает из центра или падает на него. волна Функция, которая описывает такой поток частиц с моментом I = 0 Если вы сделаете снимок вместо неподвижной сферической волны (33,6), вы увидите результат.
Решение в виде сферы дивергенции или сходимости (Rk0) Длина волны: В общем, для ненулевых моментов, Решения в виде уравнений (33.3) Эти функции могут быть представлены ганкелевыми функциями. (Для знаков + и-, первого и второго типов соответственно).
Функция асимптотической формулы (33.15) / 1 d y sin to r ^ / 1 d \ 1, y (/ cr) 2r + 1 _ (-1) lk2l + 1 \ rdr) r \ rdr) r (2 / + 1)! (2 / + 1) !! D (33,13) p = k1b.O n _— ^ r c- + g / sr (33,14) Я «± GK» (33.15) (33.16) (33.17) Рядом с источником есть следующие формы (33.18) Нормализуйте эти функции, чтобы соответствовать Выброс (или поглощение) за единицу времени в одной части Цзы.
По этой причине сферические поверхности на больших расстояниях Все небольшие волны могут быть рассмотрены Флэт, плотность магнитного потока в нем равна j = uff *, где v = kN / t — скорость частицы. Нормализация определяется условиями j> j df = 1 и интегрирование выполняется на сфере Поверхность с большим радиусом r, т.е. f jr2 do = 1, do Полицейский с твердым углом.
Оставьте нормализацию функции угла То же самое, поэтому должен поставить коэффициент Функция излучения равна A = ^ — = x [^. (33.19) Vv V W Асимптотическая формула, аналогичная (33.12), имеет вид 100, а также радиальная часть функции свободной волны Не только во время тренировки, но и во время тренировки (с положительной энергией) Поле 1), которое довольно быстро уменьшается с расстоянием.
На больших расстояниях уравнение Шуле можно игнорировать Остерегайтесь и оставайтесь с полевой и центробежной силой Приближенное уравнение M + L2 Dy = 0 г др Общее решение этого уравнения Rkl «2 sin (fcr-frr / 2 + &)) (33_20) G Где 6 — постоянная (фазовый сдвиг), а общий коэффициент Мозг по нормализации волновой функции le k / 2tg ”2).
Постоянная фаза 5 / определяется граничным условием v (конечное R ^ i при r-> 0) Не может быть рассчитано с точным уравнением Шредингера, Общий вид. Конечно, фаза Si Итак, составьте основные характеристики из к Собственная функция непрерывного спектра. Задача 1. Определить уровень энергии движения частиц с моментом / = 0 В сферической прямоугольной потенциальной яме: U (r) = -r <a Uq, U (r) = 0 (когда r> a)
Решения. Когда / = 0, волновая функция зависит только от r. Уэллс, форма уравнения Шредингера ~ ^ (Rp) + k2p = 0, k = \ ^ 2m (Uo- \ E \). g ag p окончательное решение при r = 0, F = L (грех кг) / г Если г> а, то есть уравнение -T ^ (rF) — = 0, X = 1 / 2m \ E \. g ag p Решение, которое исчезает на неопределенное время, φ = A’e- ^ / g.
Условие непрерывности логарифмической производной rf по r k cg ka = -> c = — \ / 2mUo / h2-k2, или sinfca = h2 / (2ma2Uo) ka. (2) Это уравнение неявно определяет желаемый уровень энергии (Таким образом, нужно взять корень уравнения ctg ka <0 (Из (1)). Первый из этих уровней (/ = 0 уровень) одинаков Как правило, самое глубокое время всех уровней энергии, т.е. Нормальное состояние частицы.
Отрицательный уровень, если глубина потенциальной ямы слишком мала Там нет энергии, и частицы не могут «удерживаться» ямами. Это Легко видеть из уравнения (2) Следующая графическая конфигурация: корнеплоды Нарисовано уравнение вида d = sin x = ax Пересечение прямой у = кривая топора mi y = disinx, и должны быть приняты во внимание Только пересечение ctg x <0; соответствующий участок кривой На рисунке показан y = disinx. 9 твердый К.
Слишком большой Там нет такого пересечения. Первая такая точка Линия y = ax занимает то, что показано на рисунке 1. 9 позиций То есть, если a = 2 / 7r, оно будет найдено, если x = n / 2. a = h / y / 2ma2Uo, x = ka, Отсюда получите минимальную глубину, на которой появляется яма Первый отрицательный уровень Uo min = 7g2H2 / (8 та2). (3)
Это значение увеличивается с уменьшением радиуса скважины. Первая позиция Уровень Ei во время появления определяется из ka = 7r / 2 и равен E \ = 0 Это было естественно. По мере увеличения глубины Яма нормального уровня E \ также уменьшается. A = немного отличается = Uo / Wom \ n-1, это уменьшение происходит по закону -Eg = (tg2 / 16) g70h td 2. (4) 2.
Определите расположение различных уровней энергии. Значение момента / очень глубокий (Uo h2 / та2) сферический потенциал Социальная яма (В. Эльзассер, 1933). Решения. Граничное условие карьера требуется в следующих случаях: Ноль φ (см. §22).
Описывая радиальную волновую функцию внутри Получите следующее уравнение для ямы в виде (33.10) Ji + 1/2 (ка) = 0, Корень определяет положение уровня над дном ямы Различные значения (Uo- \ E \ = h2k2 / 2m) /. Разместить заказ, Начиная с основного состояния: Is, 1p, Id, 2s, 1 /, 2p, 1g, 2d, lh, 3s, 2 / ,. , Числа перед буквами нумеруются в порядке возрастания. То же / 1) уровень. 3.
Определите порядок, в котором уровни появляются один раз По мере того как личность / глубина ямы увеличивается. Решения. Когда он впервые появился, новый уровень был Энергия Е = 0. Соответствующая волновая функция области вне скважины, исчезает как r-oo, Ri = c o n st (решение (33.3) когда k = 0).
Непрерывность Ri и R [на границе скважины В частности, производная непрерывность (rl + 1 Ri) ‘, в данном случае Получите следующие условия для волновой функции в скважине. (Rl + 1Ri) ‘= 0 (когда r = a) Это соответствует 2) условию исчезновения функции Ri-i. Получить уравнение до (33.10) Ji ~ i / 2 ^ -V2mUo ^ j = 0; При / = 0 вам нужно заменить функцию Ji-1/2 на cos.
Продолжим Последовательность, которая отображает новые уровни по мере увеличения Uo Is, 1p, 1d, 2s, 1 /, 2p, 1g, 2d, 3s, lh, 2f, … Обратите внимание на разницу с порядком уровней глубоких скважин Отображается только на относительно высоком уровне. 4. Пространственный генератор (частицы Поле U = (1/2) thio2r2), вырождение и возможная кратность Соответствующий стационарный орбитальный импульс.
Решения. Уравнение Шредингера для частиц поля U = (1/2) Ti2x x (x2 + y2 + z2) позволяет разделить переменные и приводит к трем уравнениям Тип линейного генератора. Следовательно, уровень энергии E = fyjo (ri \ 712 ~ \ ~ 3/2) = Hlu (ti 3/2).
Кратность n-го уровня вырождения равна n Может быть представлен как сумма трех неотрицательных целых чисел 1); Равно (N + 1) (n + 2) 2 Волновая функция устойчивого состояния (A2r2 \ i i n 2n3 = const-exp f —— 1 Hni (ax) Hn2 (ay) Hn3 (az), (5) Где = y / muj / h (mn — масса частицы). При изменении символа регулировки Умножим полином Hn на (-1) p.
Следовательно, четность функции (5) (-1) П1 + П2 + П3 — (_ i) n # Линейная комбинация этих функций Учитывая сумму n \ + n2 + nz = n, она может образовывать функцию , А 2р2), (6) Где F — вырожденная гипергеометрическая функция, \ m \ = 0, 1, …, / и / Значение 0, 2, …, n для четного n, 1, 3, …, n для нечетного n Последнее видно из сравнения n функций (5) и четной четности (-1). (-1) 1 функция (6), она должна быть одинаковой.
Это определение Возможные значения орбитальных моментов, соответствующих Отображаемый уровень энергии. Последовательность уровня пространственного осциллятора (такая же Поэтому обозначение задач 2 и 3) выглядит следующим образом: (Is), (1p), (Id, 2s), (1/2, 2p), (log, 2d, 3s), …, Здесь взаимно вырожденные состояния заключены в круглые скобки 2).
Смотрите также:
| Сложение моментов в квантовой механике | Разложение плоской волны |
| Движение в центрально-симметричном поле | Падение частицы на центр |
