Оглавление:
Потенциальная яма в физике
- Потенциальная яма. Как простой пример одномерного движения в гонке Движение в прямоугольной потенциальной яме, т.е. поле с функцией U (x), нарисованной выше Рисунок 1: U <x <0 для 0 <x <a, U (x) = Uq и (x) Если x <0, x> a. Очистить заранее Для E <Uq спектр дискретен и _____ Uq Если E> Uq, существует непрерывный спектр Двойной вырожденный уровень.
Область 0 <x <a имеет уравнение Шредингера φ «+ ^ Eφ = 0 (22,1) (Премьер означает производную по g) и площадь вне ямы φ «+ ^ (E ~ и 0) φ = 0. (22.2) Если x = 0, решение этих уравнений должно быть превышено Непрерывно, с непрерывной производной и х = = Решение уравнения (22.2) должно оставаться конечным (Для дискретных спектров E <Uq-ноль).
на границе потенциальной ямы удобна Требуется непрерывность Людмила Фирмаль
Если E <Uq, решение бесконечно и исчезает Φ = const-e ^ x в формуле (22.2) 3t = 2 м (Uo-E) (22,3) (Символы индикатора-и + относятся к областям соответственно х> а и х <0). Вероятность нахождения частицы \ f \ 2 экспоненциальна Глубоко затухает в области E <U (x). вместо Непрерывность φ и φ φ и логарифмическая производная ф ‘/ ф.
Принимая во внимание (22.3), получаем граничное условие в следующем формате: \ f ‘\ / f = (22,4) Определения уровней здесь не описаны Энергия скважины на любой глубине Uq (см. Задачу 2) Только в крайних случаях, когда rem полностью бесконечно высок Стена (С / о- ^ ос).
- Если Uo = a, движение происходит только в ограниченных местах Точка x = 0, отрезок и граница, как показано в §18 Государство в этих точках f = 0 (22,5) (Легко видеть, что это условие также может быть выведено из общих условий. Wii (22,4). На самом деле, как Uq-> oo, Следовательно, f ‘/ f — >> не подходит для дьявола Если оно конечно, то φ = 0. ) Ищем решение уравнения. (22.1)
Внутри ямы в форме f = csm (kx + 5), k = (22,6) Условие φ = 0 для x = 0 дает 5 = 0, тогда то же самое условие x-a дает sin ka = 0, из которого ka = nn (n — натуральное число 1)) или En = ^ K n 2, n = 1,2,3, … (22,7) Это будет определять уровень энергии частиц в потенциале Пит. Нормализованная волновая функция в стационарном состоянии Колено — = v ^ sin &) ‘<2 2’ 8)
Уровень энергии частиц в прямоугольном Людмила Фирмаль
На основании этих результатов вы можете написать напрямую «потенциале» «Коробка», то есть трехмерное движение в поле с потенциалом Энергия [7 = 0, 0 <x <a, 0 <y <b, 0 <z <c l U = a Эта область. То есть эти уровни представлены в совокупности. Rn, n, α, = — (4 + 4 + Ч)> ni, n2, n3 = 1,2,3, …, (22,9) \ О с / И соответствующая волновая функция-произведение =] f i; sin {! v xsi) n (x «) sin (v») ■ (22’10)
Энергия основного состояния Согласно (22.7) или (22.9) при порядке EqН2 / мл2 I линейно Размеры области движения частицы. Этот результат По связи неопределенности: с неопреде Координаты деления ~ Я импульс неопределенности и с ним И размер самого импульса составляет ~ N / 1. соответствующий Энергия ~ (Н / Я) 2 / т Задача 1.
Определить распределение вероятностей различных значений импульса ок Нормальное состояние частиц бесконечно глубоко Прямоугольная потенциальная яма. Решения. Коэффициент разложения функции φ \ (22.8) a (p) Собственные функции импульса равны a (p) -J FpF ^ dx = J-j sin exp ^ — i ^ — ^ jdx. О V
Вычислив интеграл и возведя в квадрат его модуль, получим искомое значение Распределение вероятностей ,. ч, 2 дп 47тN3a 2 ра 7 м дп- 2. Определить уровень энергии использованного потенциала Рисунок 2 Решения. Дискретен энергетический спектр E <Ui. На рассмотрении. Для области x <0 волновая функция φ = cie ^ 1®, XI = (1 / H) y / 2m (Ui ~ E), И регион х> а φ = C2e ~ 2X, X2 = (л / ч) \ / 2м (U2-E). Найти φ в яме (0 <x <a) φ = csin (kx + (5), k = y / 2 мЭ / ч.
Непрерывное условие на границе φ ‘/ φ U (х) and2 Да! Яма дает уравнение ctg (ak + S) = —x2 = — Рисунок 2 |! Нет — грех (5 = кп кп \ / 2 м U i 4 7 \ J 2 м U 2 (Исключая 5 дает трансцендентное уравнение кхе. кк ка = нир-арксин- \ / 2mUi \ / 2mU2 ^^ (Значения N = 1, 2, 3, … и arcsin принимаются между 0 и 7g / 2), этот маршрут Определить уровень энергии E = k2h2 / 2t.
В общем для всех н Скажем один маршрут, значение n нумерует уровни в порядке возрастания. Поскольку аргумент arcsin не может превышать 1, Значение k может существовать только в интервале между 0 и \ / 2mUi / h. Левая сторона Монотонное увеличение в уравнении (1), монотонное уменьшение справа Функция к.
Следовательно, чтобы корень уравнения (1) существовал, Поэтому, если k = \ j2mU \ / h, правая сторона меньше левой. особенно неравенство \ / 2mU \ 7g. Луис 1-> арксин 41-, ч 2 (2) Если n = 1, вы получите По крайней мере, один уровень энергии. Для данного UiΦU2, Всегда есть очень небольшое значение для ширины ямы Нет индивидуального энергетического уровня.
Когда Ui = U2 Условие (2) явно всегда выполняется. Если Ui = U2 = Uo (симметричная яма), уравнение (1) имеет вид hkП7Г-ка / оЧ arcsm- = ————. (3) y / 2mU <o 2 Введение переменной variable = ka / 2 дает уравнение для нечетного n. cosЈ = d = 7Ј, 7 = — м U 0 (4) Кроме того, тг. Если> 0, корень этого уравнения должен быть взят. Получить уравнение для четного n sinЈ = ± 7Ј, (5)
Кроме того, корень tg of <0 должен быть взят. Из корня этих двух уравнений Уровень энергии, Е = 2т; 2х2 / та2, количество уровней ( ^ φ0) Конечно. В частности, в случае неглубоких скважин Uq h2 / ta2 имеется 7 1 Уравнение (5) вообще не имеет корней. Формула (4) имеет один маршрут (С правой стороны есть верхний символ), который равен Јα (1 / ^ y) (1-l / 2j2).
так Поэтому в яме есть только один уровень энергии Это рядом с «вершиной». 3. Определите давление на прямоугольную стенку Частицами в «потенциальной коробке». Решения. сила, действующая на стенку перпендикулярно оси X, Среднее значение производной dN / yes гамильтоновой функции Частицы по длине бокса по оси х.
Давление разделено Эта сила на стенке области до н. Желательно в соответствии с уравнением (11.16) Среднее значение получается путем дифференцирования собственных значений Энергия (22,9). В результате оказывается давление (Х) K2H2 2 P = -t-a-zoGsp
Смотрите также:
| Вариационный принцип в физике | Линейный осциллятор в физике |
| Общие свойства одномерного движения | Движение в однородном поле |
