Оглавление:
Общие свойства одномерного движения
- Общие свойства одномерного движения. Когда потенциальная энергия частицы зависит только от Регулируя x, волновая функция может быть найдена в виде Произведение функции y, z и функции только x. Из них первый Определяется уравнением свободного движения Шредингера, Второе одномерное уравнение Шредингера д ф 2т дх2 фВ 2 + ^ [E-u (x) \ φ = 0. (21,1)
Это же одномерное уравнение явно Коттедж о движении в поле потенциальной энергии U (x, y, z) = = Ui (x) + U2 (y) + Us (z), разделенные на итоговые значения функции, каждый Это зависит только от одной из координат. §§22-24 Давайте рассмотрим некоторые конкретные примеры таких «одномерных» Переместить «. Здесь вы найдете некоторые заранее Его общие свойства.
Личные специфические функции Людмила Фирмаль
Во-первых, в одномерной задаче все Уровень статистики дискретного спектра не вырожден. Для дока Предполагая обратное, удваем φ> 2 , соответствующие одной и той же вещи Та же энергетическая ценность.
Потому что оба удовлетворяют один И то же уравнение (21.1), m = ^ {и _ E) = m фг к ф2 Или F1Ф2 — Ф1Ф2-0 (простое означает производную по x). Когда эти отношения интегрированы, F1F2-F1F2 = const (21,2) Поскольку бесконечность φ1 = φη = 0, const Равно нулю F1F2-Ф2Ф1 = Или φ [/ φ \ = Ф2 / Ф2 • Снова интегрируем, φ \ = const-Фч, То есть обе функции по сути одинаковы.
- Для волновой функции дискретного спектра φη (χ), Необходимо выразить следующее (так называемая вибрация) Теорема: функция φη (χ), соответствующая размеру η + 1 Собственное значение Ep исчезает (если оно конечное х) n раз 1). Предположим, что функция U (x) стремится к x-> = boc. До конечного предела (но никогда не будьте однообразными) Функция).
Предел U (+ oo) принимается за точку отсчета энергии (То есть U (+ oo) = 0), U (-o) как Uq и Предположим, что U $> 0. Дискретный спектр находится в области Энергетическая ценность, при которой частицы не могут убежать До бесконечности. Эта энергия должна быть меньше, чем оба Предел U (+ ОС).
Теперь рассмотрим сферу положительной энергии Гии меньше Людмила Фирмаль
То есть оно должно быть отрицательным. E <0, (21,3) В этом случае, конечно, в любом случае E> Umin, т.е. Функция U (x) должна иметь хотя бы одно минимальное значение. С ^ мин <0. , чем UQ: 0 <E <n. (21,4) В этой области спектр непрерывен, а движение частицы Соответствующее устойчивое состояние-бесконечно, Частицы затем идут в направлении х = + ос.
Легко понять Все собственные значения энергии в этой части спектра, Вы вырождаются. По этой причине достаточно отметить следующее: Достаточно более высокого (дискретного спектра) доказательства Однако функция φ \, Φ2 исчезает хотя бы с одним Из бесконечности (в данном случае они х — о).
При достаточно большом положительном значении х в уравнении Шредингер (21.1), U (x) можно игнорировать \ f ”+ | ^ Eph = 0. Это уравнение имеет реальное решение в виде стоячей поверхности Застенчивая волна φ = acos (kx + o), (21,5) Где a и 8 — постоянные, а «волновой вектор» k = p / H = y / 2rnE / H. Эта формула определяет асимптотику ( x + oc) невырожденная волновая функция уровня энергии В секции непрерывного спектра (21.4).
Массивное отклонение Для фактического значения x уравнение Шредингера принимает вид: φ «- ^ (и o-E) φ = 0. И бесконечное решение φ = b * x, x = ± y / 2m (U0-E). (21,6) Это асимптотическая форма волновой функции x-a. Таким образом, волновая функция затухает экспоненциально E <Глубоко в области акулы.
Наконец, для> и (21?) Спектр непрерывен, а движение бесконечно в обоих направлениях. Рон. В этой части спектра все уровни дважды вырождены. Это потому, что соответствующая волновая функция Определяется квадратным уравнением (21.1), оба Независимое решение этого уравнения удовлетворяет следующему условию
Бесконечные условия (например, В этом случае одно решение Конечности и, следовательно, должны были быть уничтожены). Asympto x -Y-) является статической формой волновой функции-) φ = aieikx + a2e ~ ikx (21,8) То же самое верно для х -> — а. Члены с экс соответствуют частицам, Член e ~ kx — это частица, которая движется вправо и движется влево.
Предположим, что функция U (x) четна (U (-x) = U (x)). Далее, когда меняется символ координаты, уравнение Шрединге RA (21.1) не изменилась. Следовательно, φ (x) Поскольку это уравнение является решением, φ (-x) также является решением. Соответствует φ (χ) определенному коэффициенту: φ (-χ) = cp (x). Если знак x снова изменяется, получается φ (x) = c2φ (x). откуда с = ± 1.
Поэтому симметрично (относительно Точка потенциальной энергии х = 0) Унарное состояние четное (φ (-x) = φ (x)), Или нечетное (φ (-x) = -φ (x)) 1). Особенно волны Функция основного состояния четная. Фактически, вы не можете иметь узлы, и в любом случае нечетная функция меняется на противоположную.
Исчезает, когда x = 0 (φ (0) = -φ (0) = 0). Для нормализации волновой функции одномерного движения Есть простой способ (для непрерывных спектров). Определить коэффициент нормализации напрямую Асимптотическое выражение волновой функции боли Их значение | х |. Волновая функция движения, которая бесконечна Одна сторона (х- + оо).
Нормализация веток как x os (как x —Y —o, функция затухает экспоненциально, Так что интеграл быстро сходится). Таким образом, Константы нормализации асимптотические и могут быть заменены Генерация значений (если большое x> 0) и интегро Знание выбора конечного значения в качестве нижнего предела Теперь скажите ноль. Это будет игнорировать окончательное Размер по сравнению с бесконечностью.
Покажи это Волновые функции, нормированные условиями j> φ * φ: dx = 5 (^ r-) = 2rn5 (p-p ‘) (21,9) (P — импульс частицы на бесконечности), он должен быть асимметричным Птотическая форма с коэффициентом а = 2 (21,5) df и 2 cos (kx + 5) = e ^ kx + 5 ^ + e до ^ kx + 6K (21.10)
Я не собираюсь проверять взаимную ортогональность Функции, соответствующие разным р, тогда Новая функция (21.10) для нормализованной интеграции Импульсы p и pf произвольно замкнуты. Таким образом, вы можете положить 6 = 5f (6 обычно является функцией от p).
Тогда саб В интегральном представлении остаются только следующие термины: p = rg расхождение, то есть пропустить термины, которые включают Коэффициент умножения e ± r (^^) x. Таким образом, Ой ой ой ой ой / + / = / е. (‘-> Ж 0 0 —оо (15.7) матчей (21.9). 22 потенциальных ямы 91 Произошел переход к нормализации энергии до 5 функций, (5.14) Согласно фр. f’c1 (p / 2trH) ^ / 2 _ 1 \ dE) д / 27gh ч ’ Где v — скорость частицы на бесконечности.
Вот так φE = — ^ = ^ v = — ^ = {ei (kx + 5) + e — <(** + «)) (21.11) Плотность магнитного потока каждой из двух бегущих волн, Расщепление стоячей волны (21.11) равно 1 / (27тН). Поэтому можно сформулировать следующие правила: Для нормализации бесконечной односторонней волновой функции
Теперь 5 функций энергии: асимптотически выражают Представление волновой функции в виде суммы двух движений В направлении, противоположном плоскости волны, необходимо выбрать норму Плотность магнитного потока В волне, движущейся к началу координат (или Доска от происхождения), равная 1 / (27тН).
Точно так же вы можете получить те же правила Нормализовать волновую функцию движения, которая бесконечна при Обе стороны. Волновая функция нормирована на 5 функций Для суммы волновых потоков, проходящих вдоль направления, процент энергии К положительному и отрицательному происхождению Обе стороны оси x, 1 / (2трH).
Смотрите также:
| Плотность потока в физике | Потенциальная яма в физике |
| Вариационный принцип в физике | Линейный осциллятор в физике |
