Оглавление:
Преобразование матриц в физике
- Преобразование матриц. Матричные элементы одной физической величины могут быть определены для разных наборов волновых функций. Это, например, стационарная волновая функция, описываемая другим набором физических величин, или стационарная волновая функция той же системы, расположенной в другом внешнем поле.
В связи с этим возникает проблема преобразования матрицы из одного представления в другое. Пусть ^ n (q) и ^ fn (q) (n = 1, 2, …) две полные ортосистемы. Нормализованная функция. Они связаны друг с другом линейным преобразованием. ^ ‘n =’ Yh (12,1) T Это простое разложение функции gr’n в полной системе функции φn.
должен соответствовать определенным условиям Людмила Фирмаль
Это преобразование может быть записано в форме оператора fp = yafp. (12.2) Оператор S , Чтобы обеспечить ортонормированность функций PHP, В таком случае это функция fp.
Фактически, подставив (12.2) для условия f 1ФФпdq = Smn и учитывая определение оператора транспонирования (3.14), J (S ^ n) S * rmdq = J r mS * W ndq = Smn Для того чтобы это равенство выполнялось для всех m и n, S * S = 1 или S * = S + = S ~ \ (12,3) То есть обратный оператор соответствует присоединенному оператору.
- Оператор с этим свойством называется унитарным. Для свойств силуэта преобразование φη = S’_1V4, обратное преобразованию (12.1) ^ n = Y, Snm ^ ‘m- (12-4) T Как только уравнение S ^ S = 1 или SS ~ * ~ = 1 описывается в матричной форме, условие единства получается в следующей форме: J 2 S L S ln = Smn (12,5) Я или J2S * mlSnl = Smn. (12.6)
Я Теперь рассмотрим некоторые физические величины Опишите матричный элемент в «новом» представлении, т.е. относительно функции f’n Они даны интеграцией J f ‘w 7p’ n <k = J (S * ft) (7 sfn) dq = = I ft ^ * T ^ Φηdq = Iφ ^ η〜 ^ ‘7’§φηdq. Это новый оператор выражения / матрица Соответствует матрице операторов T = S-‘fS (12,7) 1) со старым видом.
что след продукта двух матриц не зависит от порядка факторов Людмила Фирмаль
Сумма диагональных элементов матрицы называется Обозначается как House / Sp / 1): Sp f = Y, fn n. (12,8) P Во-первых, обратите внимание, . Sp (/ г) = Sp (г /). (12,9) На самом деле, из-за правил умножения матриц, Sp (fg) = EE fnkgkn-EE gknfnk = Sp (g /).
р в п р Аналогично, для продуктов с несколькими матрицами вы можете легко проверить, что трасса не изменяется при периодической замене факторов. так Sp Ugh) = Sp (hfg) = Sp (ghf). (12.10) Наиболее важной характеристикой трассы является независимость функции, для которой определяются матричные элементы, от выбора системы. конечно Sp / ‘= Sp (S-7S) = Sp (SS-‘f) = Sp /. (12.11)
Также обратите внимание, что унитарное преобразование заканчивается. Вариант суммы квадрата модуля преобразованной функции. На самом деле, с учетом (12.6) ^ \ f [\ 2 = Y, S k i $ ks№i = = E i ^ i 2- (12Л2) ик, л, ик, я к Все унитарные операторы могут быть выражены как S = eifi, (12,13) Где R — оператор Эрмита.
На самом деле, от R + = R какие S + = e к iR + = e к iR = S -1 Обратите внимание на разборку ? = S-‘f S = f + {/, iR} + \ {{l iR}, iR} +. .., (12.14) Это легко проверить путем прямой проверки с помощью факторизации мощности R оператора R (= tzi?). Это расширение полезно, когда R пропорционально малому параметру. Этого параметра.
Смотрите также:
| Стационарные состояния в физике | Гейзенберговское представление операторов |
| Матрицы в квантовой физике | Матрица плотности в физике |
