Оглавление:
Операторы в квантовой механике
- Операторы. Рассмотрим и охарактеризовать несколько физических величин Состояние квантовой системы. Строго говоря, в следующем Следующее рассуждение не одно О размерах, весь их набор сразу. Тем не менее, все будущие аргументы практически не изменились и для краткости Простота, о которой мы говорим ниже Размер.
Значение, которое это может принять физически Количество однозначно называется в квантовой механике Ценности и их комбинации, Фактическое значение этого количества. В классической механике Вообще говоря, количество выполняет непрерывный ряд значений.
Собственные значения выполняются Гвоздь подряд подряд Людмила Фирмаль
В квантовой механике существуют также физические величины (Например, координаты) . В таких случаях они говорят о преемственности Спектр собственных значений. Наряду с этими величинами Но есть и другая квантовая механика Значения образуют несколько дискретных наборов.
В этом В некоторых случаях мы будем говорить о дискретных спектрах. Для простоты сначала Количество / имеет дискретный спектр. Дело сплошное Он рассматривается в § 5 всего спектра. Собственное значение количества / Представлено / n. Индекс n превышает значения 0, 1 и 2. 3, … показывает волновую функцию системы в следующем состоянии Количество / значение тора равно / n и проходит через Фп.
- Волновая функция Фи называется собственной функцией данной физики Количество. Каждая из этих функций считается нормальной. Ванная комната, вероятно, Если система находится в каком-либо состоянии Измерение с использованием волновой функции F Величина f является одним из собственных значений fn. (2.4) (3.1)
Согласно принципу суперпозиции, это может быть обсуждено Волновая функция Φ должна быть линейной Сочетание собственных функций Отличная обнаружимая ценность Ненулевая вероятность при превышении измерения Проблема государственного устройства. так В общем случае любого состояния функция Φ имеет вид Представлено как серия Φ = E «A, (3.2) N Где сумма все n и ap-часть Фиксированный фактор.
чтобы они могли выполнить такое разложение Функциональная система Людмила Фирмаль
Так что каждая волна Вы можете сказать, что функция разлагается на себя Функции всех физических величин. Функциональная система Они говорят о сексе, . Вероятность можно определить по расширению (3.2) Обнаружение систем с волнами (путем измерения) По тому или иному значению функции fn Φ.
день На самом деле, как я уже говорил в предыдущем абзаце, это Вероятность билинейная Должен быть билинейным по уравнениям Φ и Φ * по ар и а *. В дополнение к этим выражениям, Положительно. Наконец, вероятность fn равна Свяжитесь с устройством, если система находится в следующем состоянии Волновая функция Ф = Фп, и она должна исчезнуть, ес Существует ли следующий член в разложении (3.2) волновой функции?
Учитывая фп. Практически только положительный размер Квадратный коэффициент удовлетворяет этому условию Увеличить коэффициент. Результат Квадрат модуля | ap каждого коэффициента | (3.2) Определить вероятность соответствующего значения f н С величиной / волновой функцией F.
Общая вероятность Значение всех возможных значений fn должно быть равно 1. Другими словами, должны быть отношения (3.3) Если функция Φ не нормирована, Также разместите отношения (3.3). Сумма \ ap \ 2 is Определяется выражением, билинейным выражением Он объединен с F, нормированным на Φ и Φ *.
Это только интеграл / Φφ * dq. Следовательно, должно быть равенство С другой стороны, умножьте разложение Φ * = a * Φ * на Φ Комплексная функция Ф * Ф и сопряженная, интегральная, Мы получаем Отсюда найдите следующую формулу для определения коэффициента Коэффициент разложения функции Φ по собственной функции Ям ФП:
Следовательно, собственная функция должна удовлетворять следующим условиям: условия Здесь 5sh = 1 для n-t и 5sh = 0 для nf t. Об апелляции Интегральный ноль произведения Φ ^ Φ * с mΦn равен Фп о взаимной ортогональности функций.
так Вся собственная функция ФП образует целостную систему Нормализованные и взаимно ортогональные (или как говорится Краткость-нормализованная функция). Это вводит понятие среднего значения Государство. Согласно обычному определению среднего Значение для определения / сумма всех уникальных значений / n Указанное значение.
Каждый умножается на соответствующее значение N (3.4) P Сравните это с (3.4) (3.5) Замена здесь (3.2) T (3.6) Вероятность | ap | 2: _ f = ^ 2 fn \ a n \ 2- (3.7) P Описывает / в форме выражения, не содержащего Коэффициент расширения функции расширения и самой функции. по Продукт apa * включен в (3.7), поэтому он явно желателен. Выражение должно быть билинейным с Φ и Φ *.
Вот некоторые / 1) первый математический оператор, Определите это следующим образом: (/ Φ) указывает на результат То есть влияние оператора / на функцию F. Интеграция продукта с помощью комплексного сопряжения (/ Φ) Женская функция Ф * теперь равна среднему значению /. / = YΦ * (/ Φ) <бд. (3.8)
В общем случае оператор / легко представить linear2) Оператор интегрирования. акт Фактически, используя уравнение (3.5) для, вы можете: Определение среднего значения (3.7) 7 = Y, = [Ф * f eйп / пФп) dq. n j \ n ‘ По сравнению с (3.8) результаты оперы Форма функции Ф тора (/ Ф) = ^> П / ПФП. (3.9) P
Если мы заменим уравнение (3.5) на: / Является целочисленным оператором вида (/ Φ) = J K (q, </) Φ (</) dq1, (3.10) Где функция K (q, qf) (так называемое операторное ядро) = (Zn) Следовательно, каждая физическая величина кванта Некоторые линейные операторы соответствуют механике.
Из (3.9) функция Φ имеет вид Вещественная функция Фп (все ответы кроме одного равны Лю), то в результате оператора / воздействия этой функции Просто умножьте на собственное значение fn1: / FP = / A (3.12) Следовательно, учитывая физическую собственную функцию Поверхность / уравнение решения / F = / F, Где / является константой, а собственные значения являются этими значениями Константа с решением в письменном уравнении / Познакомьтесь с требованиями.
Ни один не отображается Однако форма операторов для различных физических величин Определяется прямыми физическими соображениями и Указанное свойство оператора разрешает поиск Собственные функции и собственные значения по решению Уравнение / F = / F Как собственные значения реальных физических величин нет, а среднее значение в любом состоянии реально Us.
В этой ситуации накладываются определенные ограничения. Соответствующее свойство оператора. Сделайте выражения равными (3.8) Получить комплексное сопряжение и отношение к нему JФ * (/ Ф) ід = IФ (/ * Ф *) ід, (3.13) Где / * обозначает операторное комплексное число, сопряженное с / 2.
Для произвольных линейных операторов такое соотношение в общем случае не выполняется и поэтому представляет собой конкретное ограничение, налагаемое на возможную форму оператора /. Для любого оператора /, как они говорят, можно показать, что он заменен оператором /, определенным следующим образом: IΦ (/ Φ) Ar = IΦ (/ Φ) <**, (3.14) Где Φ и Φ две разные функции.
Если выбран как Сравнение функции ΦΦ с функцией Φ * и сопряженной (3.13) Показывает как должно быть / = / * • (3-15) Оператор, который удовлетворяет этому условию, называется Hermi Продукт 1). Следовательно, оператор, соответствующий ма Тематический аппарат квантовой механики реальной философией Физическая величина должна быть эрмитовой.
Формально сложный фис можно рассмотреть. Физическая величина, т.е. ее собственное значение это сложно. Установить / на такую сумму. Тогда вы можете Ввести комплексное сопряженное количество f * Какие значения комплексно сопряжены с собственными значениями Значение.
Оператор, соответствующий / * Имеется в виду / +. Вызывается сопряженный оператор Вообще говоря, необходимо отличать от сложного спаривания Жена оператора / *. На самом деле, по определению, Па / +, среднее значение / * в конкретном состоянии Ф Есть ли T = JΦ * f + * dq. Между тем у нас есть Jφ * dq = JФfy * dq = JФ * / * Фdq. Если оба уравнения равны, / + = Γ, (1b) (/ G = Вообще говоря, ясно, что / + не соответствует / *. состояние (3.15)
Теперь вы можете писать в формах / = / +, (3.17) Другими словами, фактический оператор физической величины Сопряженный (также называется оператор Эрмита Сопряженные). Показывает, как вы можете доказать непосредственно Взаимная ортогональность собственных функций оперы Эрмита Радиатор для различных собственных значений.
Пусть fn, f m два разных собственных числа действительных чисел Значения f, значения р и Фт являются уникальными Функция: ^^ / F p = / PFP, / f t = f m ft Умножая уравнения на первые части этих уравнений, Вычтите эти производные вторым комплексным конъюгатом -onп Справочные термины друг от друга получаем Ф ^ / Фп- „„ ГФ ^ = (/ „-fm) АА- Объедините обе части этого уравнения с dq.
с того времени / * = / А затем интегрируем левую часть уравнения изображения по формуле (3.14) Чтобы сходиться к нулю, (Fn fm) IΦ „Φ ^^ = 0, Оттуда желаемые свойства являются ортогональными, принимая во внимание f n f / t Фп и Фт функции. У нас всегда есть только одна физическая история здесь /, Следует сказать, В то же время в начале параграфа о полной системе Физическая величина, которую можно измерить.
Тогда каждый Одна из этих величин /, g, … является ее оператором /, Собственные функции g, … Фп соответствуют следующим состояниям: Из которых характерно для всех рассматриваемых количеств Соответствует значению, то есть определенному набору свойств Значения f n, gn, … являются совместными решениями Одновременные уравнения / Ф = / Ф, ЈФ = яФ, …
Смотрите также:
| Принцип неопределенности в физике | Сложение и умножение операторов в физике |
| Принцип суперпозиции в физике | Непрерывный спектр в квантовой механике |
