Эпоха Ньютона и Лейбница

Оглавление:

Эпоха Ньютона и Лейбница

Эпоха Ньютона и Лейбница. XV XV XVII веке дифференциального и интегрального исчисления [глава XIV] в математическую практику вошли и бесконечные ряды. Начнем с появившихся в 1668 г. в Англии работ, так или иначе связанных с л о г а р и ф м и ч е с к и м р я д о м .102. XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [279 В этом году было опубликовано небольшое сочинение николая м е р к а-т о р а (1620-1687) «логаритмотехника», посвященная методам

вычисления логарифмов. В одной из последних глав автор занимается квадратурой гиперболы х у = \ , отнесенной к асимптотам. Полагая х = 1 — + а, он пишет уравнение гиперболы в виде Путем деления Меркатор переходит к разложению в геометрическую про-грессию г ± 3 = 1 — » + «- — » . + ,.., а затем, интегрируя по а почленно, получает для площади гиперболы известный ряд [п°256, (21)] а2 , а3 а4 . 1 2 I 1 з 2 = х — — — Х2 + «о» Х5 -… , 2 о он получает X = г + ~ гг + -1+. . . ,

вы можете использовать его в качестве шаблона. — Вопрос об области Людмила Фирмаль

применимости ряда не затрагивается (на приложенном чертеже случайно оказывается а > > 1, так что разложение на деле н е п р и м ен и м о!да что с тобой такое? На этом вопросе останавливается в своей рецензии В ал л и с. Наконец, вильям б р о у н к е р (1620-1684) Для практического вычисления он употребляет более быстро сходящийся ряд, причем — путем сравнения с геометрической прогрессией — находит границы для остатка. Несколько ранее начал заниматься бесконечными рядами Н ью то н , но его исследования в

этой области, переплетающиеся с исследованиями в других областях анализа, были опубликованы, как мы знаем, с большим опозданием. Сюда относятся, прежде всего, его письма от 1676 г., предназначенные для Лейбница, и его две фундаментальные работы: «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» и «Метод флюксий и бесконечных рядов», о которых была речь в главе ХIV. По-видимому не позже 1666 г. Ньютон уже владел б и н о м и а л ь н ы м рядом для дробных или отрицательных значений показателя.

Сначала он пришел к нему с помощью умозаключений по аналогии; разложения корней проверялись путем возведения в степень. Впоследствии Ньютон находит прямой метод деления степенных рядов и извлечения корней из рядов, перенося сюда принципы уже известного к тому времени учения о десятичных дробях. Разлагая различные выражения в степенные ряды, Ньютон сводит нахождение их флюксий и флюэнт к таким же операциям над степенями и этим значительно расширяет область применимости созданного им анализа. Нередко Ньютон прибегает к о б р а щ е н и ю р я д а , т. е

. исходя из разложения одной величины по степеням другой, устанавливает второй разложение по степеням первой, второй устанавливает разложение по степеням первой. Так, отправляясь от логарифмического ряда279} § 4. ОЧЕРК ИСТОРИИ РЯДОВ 103 т. е. по существу — п о к а з а т е л ь н ы й , р я д (добавив в обеих частях по единице, мы получили бы слева число 1 Ц — х, натуральный логарифм которого как раз и равен х), Любопытно, что р а з л о ж е н и е с и н у с а х по степеням дуги х *) * ) Радиус круга принят равным единице.

*) Но, по-видимому, все же был опережен англичанином Джемсом Г ре го р и (1638-1675), который в 1671 г. в письме сообщил ряд для Людмила Фирмаль

арктангенса. Ньютон находит обращением ряда, выражающего дугу т. е. из р а з л о ж е н и я а р к с и н у с а , которое Ньютону естественно представляется более 1 простым, ибо получается интегрированием флюксии арксинуса (1 — х 2) 2 , легко разворачиваемой в биномиальный ряд [п°275, 2)]. Бесконечные ряды широко используются Ньютоном для решения уравнений, как алгебраических, так и дифференциальных. Применяемый им метод, по существу, есть метод неопределенных коэффициентов. Излагая в «Анализе» вопрос о решении уравнения с помощью ряда, Ньютон

останавливается на доказательстве сходимости ряда именно к корню уравнения. В других случаях Но, разлагая в ряд наперед известные величины, он сходимостью не занимается. Впрочем, так как главное назначение Ньютон видит рядов в приближенных вычислениях, то его, естественно, не интересует формальное установление факта сходимости ряда — ему нужна б ы с т р а я сходимость! Например, вычисление 1п 2 Ньютон осуществляет не с помощью медленно сходящегося ряда 1х2=1-х + 4-х + — а исходя из формулы 1п2==21п 1,2 — 0,8 1п — 1п 0,9: аргументы 1,2, 0,8, 0,9 мало разнятся от единицы, что и

обеспечивает быструю сходимость логарифмического ряда. Оценки допускаемой погрешности у Ньютона нет. Л е й б н и ц , независимо от Ньютона, пришел к некоторым из тех разложений, которыми Ньютон владел раньше. 1693 г. (Предполагая самый искомый ряд как бы найденным). В частности, этим путем он вновь получил разложения логарифма и синуса, исходя из дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют. В 1682 г. 1 . 1-1. выражающий число ; владел этим рядом лейбниц уже давно ). Попутно лейбниц дает оценку погрешности при замене числа ~ отрезком ряда. Эти указания впоследствии были им обобщены на

случай любого знакопеременного ряда с членами, убывающими по абсолютной величине до нуля (например, в письме к И. Бернулли, 1714г.да что с тобой такое? При этом, впрочем, с у щ е с т в о в а н и е суммы само собою разумеется, и устанавливается фактически лишь104 ГЛ. XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [280 неограниченное приближение к ней частичных сумм попеременно с разных сторон [ср. 244, февраль. В более поздних письмах Лейбниц говорит о рядах, «сходящихся» к своим суммам, понимая сходимость, как и мы. Но в то же время он соглашается с утверждением, что ряд 1 — 1 + 1 — 1 + … имеет суммой число это

получается из разложения ‘ _ = 1 _ + х 2 _ 3+.„ при х = 1: если оно верно при х < 1, то по «закону непрерывности» должно быть верно и при х = 1! Отсутствие ясности, по-видимому, ощущает и сахМ Лейбниц; недаром он говорит в одном письме: «… верить рассуждениям о бесконечных рядах следует только тогда, когда истину можно доказать и с помощью конечных (величин) по методу Архимеда». Занимались Бесконечными рядами Лейбница сподвижника оба— братья Б е р н у л л и , особенно — старший из них, Якоб: совокупность его работ по рядам (1689-1704) дает изложение всего, что было

известно в этой области в его время. В частности, Иоган сначала, а затем Якоб дали доказательство того, что «сумма бесконечного гармонического ряда бесконечна». Доказательство якоб бернулли основано на том же принципе, что и обычное [°236, 1)]. Он справедливо подчеркивает в заключение, что «сумма бесконечного ряда, коего п о с л е д н и й член исчезает, иногда конечна, а иногда бесконечна». Разумеется, «последний член» должен быть истолкован как п р е д е л общего члена. Нужно отметить, что Я. Бернулли свободно пользуется расходящимися рядами и даже получает с их помощью сходящиеся разложения.

Степенной ряд как ряд Тейлора	Период формального развития теории рядов
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов	Создание точной теории