Разложение непрерывной функции в ряд многочленов

Оглавление:

Разложение непрерывной функции в ряд многочленов

Разложение непрерывной функции на ряд многочленов. Классы функций, допускающих расширение рядов, очень ограничены. Предыдущая числовая теорема 7°гласит, что функция, которая разлагается на любом интервале степенного ряда, должна в любом

случае принимать производную от всех порядков здесь.], Далеко не обеспечивая возможности разложения власти. В этой связи становится важной теорема, доказанная Вейерштрассом(1885),

и для любой непрерывной функции мы формулируем ее на языке последовательности, состоящей из C l S x m n o h o H l n O H O L O V: Людмила Фирмаль

Если функция теоремы Вейерштрасса / (x) непрерывна с конечными замкнутыми интервалами{a, B}, то существует последовательность целых чисел[278]§3. Степенные ряды и полиномиальной серия 99 Это многочлен{RP(x)}, который N o m e R n o в этом интервале P A сходится к/(x). Во-первых, допустим, речь идет об интервале[0,1]. Тогда

определенная последовательность полиномов удовлетворяет требованиям теоремы п р(х)=2х»х’°>•(9 ) * ) Мы советские ученые С. Н. Бернштейн принадлежит к теореме Вейерштрасса, которая воспроизводит простейшее из многочисленных доказательств. Записанные полиномы VP (x), которые легко складываются из

значений функции/(x) в рациональных точках, называются «полиномами Бернштейна» функции/(x). М=0 Чтобы доказать это, вам нужна серия простых тождеств. Прежде всего, любые природные и, 2С х=1. (1°) V=0 То, что вы сразу получаете из разложения (a+B) p двоичными числами Ньютона, заключается в том, что если вы возьмете a=x, B=1-X, то 2C^x'(I-x) n_=them. ^=0 (11) Фактически, вы

можете переписать все остальные термины как(I-1) (N_2), отбросив термин ответ на=0. . . . . (П— 1 — 1 + 1) 1 -2 . (1— Или, если вы наберете=\ — 1, то px•S%_!XP (1-x) -^. Введем рН круглых скобок и получим сумму в круглых скобках И = 0 Она равна силе 1in (10). Аналогично, 2^-1) (- x) n -‘>==. п(п-1) Н2-2 2 * _S2l-‘-(1-х)^ — а= у=0Л=0 =п(п-1) Х2. (12)наконец, умножьте(10)на i3x2 и(11)на—(2px—1), чтобы численно добавить эти тождества к (12).

В результате мы приходим к тождеству 2[n~x2—(2ph— 1) ^+^ (^-1)] • S\x^(1-x)l «» =p3x2-(2px-1)px — ± — p Людмила Фирмаль

(p-1) h2100 глава XVI.функциональная последовательность и ряд[278 Или после упрощения, 2С7-п х) 2С х » 0-х) н — ‘=их(1-х). Учитывая это, любой x-x(1-X)=1-(y-X^ , Это было бы неравноценно. 2(. — п х? ■S’x'(1-x Y»0-с точки зрения непрерывности, следовательно[N°75]и непрерывности функции p a/(x) в N-такое число зависит только от e. из\x»—x’|со ссылкой на первый член-x^<&, а второй — — — — — x|^>O. В первом случае очевидно-/(x) / 2^, t o (независимо от x!Это будет) А потом, по совокупности, N (x) — in/(x)|<2e, докажите необходимое утверждение. Для любого интервала[a, B] он рассматривается простым преобразованием переменной: x=a — \ — y(B-a), где 1. Построенный непрерывной функцией от Y./ (a4-3? (B—a))

последовательность многочленов VP(y) сходится равномерно для [0, 1]y. тогда последовательность многочлена RP(x)=VP сходится равномерно к функции/(x) для x из[a, B]. Теорема доказана. Переходя от ряда функций к ряду функций обычным способом[см. n°263 и 264], теорема Вейерштрасса может быть выражена в следующем виде: И /)(=2RP(ч.), Например, можно поставить (x)=(x), RP (x)=RP (x)-RP-1 (x) (n>1). Н=1 Целочисленный многочлен (*). Такая декомпозиция, конечно, уступает декомпозиции ряда Тейлора в практическом применении, но она теоретически важна для своей крайней общности. В частности, одно «аналитическое выражение» [n°18; ср. Перспектива Эйлера, n°21].

Почленное дифференцирование степенного ряда	Эпоха Ньютона и Лейбница
Степенной ряд как ряд Тейлора	Период формального развития теории рядов