Производная и аргументы

Производная

• . Производные /. Приращение аргумента и приращение функции Дает функцию y-f (x). Рассмотрим два значения аргумента: исходный xQ и новый x. Разница x — x0 называется приращением аргумента x в точке x0 (короче говоря, приращением аргумента) и обозначается символом Ax (читай «delta iko»). Аналогичным образом, разность y_y9_f (x) — ~ f (x9) называется функцией y = f (x) приращения при x0 (короче говоря, приращением функции) и символом A y (читай: «Дельта-игра») ]) * Значения Ax и Au показаны на рисунке. 130. Вот так Ax = x — x0, (1) (3) A * = / () — / (). (2) или х = х0 + топор y = y0 + ay Подстановка x в уравнении (3) в уравнение (2) дает следующее: (4) A = / (, + Axe) — / (,).

Далее вы можете видеть, что y0-f (x 0) является константой, а y = f (x) -вариабельной. Приращения A y и Ax также являются переменными. Уравнение (4) показывает, что переменная A y является функцией переменной Ax. Пример 1. Если функция y = x2 в точке xQ, найти приращение функции Au, соответствующее приращению аргумента Ax. в l) & y-f (x) -f (x0) M AH \ O • X * L X Рис. 130 Решения. Согласно уравнению (4) By = f (* o + D ) — f ( o) = (* o + A *) a-Xb = 2×0 Ax + Ax \

Как правило, когда вводятся Ax и Ay, начальное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение x считается переменной. Людмила Фирмаль

\ X \ = x справа от нуля. Итак, Лим Джим Джим £ 1 =! Im h * — = ллл £ = 1. \ X \ = -x слева от нуля. так lim Hm lim ~ = lim-1. D- 0-0 * D * -0-0 L * -0-0 D * -0-0 L Таким образом, есть другое ограничение справа и слева от Ax — »- 0 как отношение ~, которое против Д — нет ограничения на отношение, т.е. производная в точке x / ‘(*) =» lim ~ 0 не существует. Давайте рассмотрим другой пример. Функция y = x / x непрерывна по оси значений, особенно когда x = 0. Вы можете видеть, что в этой функции нет дифференцирования при x = 0. На самом деле, в какой-то момент. x = 0 аргумент Шаг приращения соответствует приращению функции Ay = i / O + A.v-Y0 = j / Dx. так При достижении предела Af / j / D * I Axe Y ^ x1, lim- = lim ..! __ = -f оо. Ах ах ах ах ах * Это означает, что функция y — Yx в точке x = 0 не имеет дифференцирования. 6.

Геометрический смысл производных В этом разделе мы рассмотрим геометрический смысл производной. Это очень полезно при изучении многих понятий.Математический анализ и решение некоторых геометрических задач. Для этого мы введем определение касательной кривой в некоторой точке. Задайте точку M0 плоской кривой C. Рассматривая еще одну точку M на этой кривой, нарисуйте секущую M0M (рисунок 132). Ровно 132 ка М начинает двигаться Кривая C и точка M0 остаются неподвижными, а секущая меняет свое положение. Предположим, что есть линия L, которая проходит через точку A10 и имеет следующие характеристики: когда точка M движется вдоль кривой C, точка M0 Сторона), угол между прямой L и секущим L1 „M стремится к нулю. Эта линия L тогда называется касательной кривой C в точке M0.

• Решение задач по высшей математике

Поверхности второго порядка	Производные высших порядков
Непрерывные функции	Дифференциал функции

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

• Короче говоря, касательная является прямой линией и занимает предельное положение секущей. Замечания. Тангенс кривой пространства определяется аналогично. Теперь рассмотрим график непрерывной функции y = f (x). Это имеет не вертикальную касательную в точке M0 на абсциссе x0 (рис. 133). Рисунок 133 Найти коэффициент угла k-tan a. Где a — угол, касательный к оси Ox. Для этого укажите точку A10 и точку A1 на графике с x0-f Ax на горизонтальной оси. Не угловой коэффициент ^ sec = tg P = xx ‘ Где p — угол секущей, который включает ssio Oh (рис. 133).

Кроме того, секущий является бесконечно касательным, то есть он становится ближе к хромоте, поэтому limtgP = tga. так D * — »0 Коэффициент тангенса k — tga = lirn tg (5 = liin S = / ‘(* «) Dx-0 A.t-O ^ * Следовательно, наклон касательной к графику функции В точке с абсциссой x0 она равна производному значению этой функции в точке x0. * cas = / ‘(* «) • (I)

Поскольку Ax-> 0, из-за непрерывности функции A, y также стремится к пулям, поэтому точка / перемещение по графику будет приближаться к точке M0 бесконечно. Людмила Фирмаль

Замечания. Если график непрерывной функции y = f (x) имеет не вертикальную касательную в точке с абсциссой x0, это показывает, что существует производная f ‘(x0), равная углу в этой точке Коэффициент тангенса, кКач. И наоборот, если у функции есть производная в точке x0, график точки в абсциссе x0 имеет не вертикальную касательную. Пример. Найти угловой коэффициент касательной параболы y = x2 в точке M0 (2; 4).

Решения. Мы уже видели (см. Пункт 4, пример 2) Коэффициент угла касания равен График функции в точке M0 (2; 4) равен значению производной этой функции в точке x = 2, то есть k = 4. В конце главы 5 функция y- | x | y = Yx не имеет производной в точке x = 0. На графике функции y = \ x \ это связано с тем, что точка O (0; 0) не имеет касательной (рис. 134). График функции Рис. 134 y = начало координат yx Ось касательной (ось Oy), но перпендикулярна горизонтальной оси, и ее угловой коэффициент k = tga не имеет конечного значения. 7. Некоторые основные примитивные производные В этом разделе вы найдете производные следующих основных примитивов: константа (константа) y = C, естественная экспонента i степенная функция y = xn, экспоненциальная функция y по топору, логарифмическая функция y = \ ogax и треугольник Функции y = sin * и y = cosx.

Выводы остальных основных базовых функций приведены в следующем разделе. 1. Производная константы у — с. Функция y = C содержит постоянное значение по оси значений, поэтому в произвольно выбранной точке x приращение аргумента Ax соответствует приращению функции Ay, равному нулю. так (C) ‘= lim £ f = lim ± = 0 Дх-0 ах дх 0 так (С) ‘= 0. (15) 2.

Пусть произвольно выбрана производная x функции y = xn, которая должна иметь естественный показатель степени n, Ax — приращение аргумента в этой точке, а A y — соответствующее приращение данной функции. Далее, биномиальное выражение Ньютона * Au = (x + Ax) n-xn = x «+ n ** — 1 • A * + * до 2 Y] xn до 2 (A x) r + … + (Ax) n-x \ или A = + n (от nl до l) x »- * (Ax) * + … -f (Ax) \ так , PHP-1. D * + -2 (D *) 2 + … + (& x) n lim lim- О — о = lim \ nxn’1 + n {n. «1} Xy- ‘Ax + … + (A *) H-A1 = nxn ~ 1. д * -о1 1 Дж Вот так (Xn) ‘= php-K (16) 3. Экспоненциальная производная y = ax. Присваивание Ax произвольно выбранному значению аргумента x дает следующий экспоненциальный прирост. Au = ax + ^ x-ax = ax (a ** — 1). так Хм, ау. Ах («Dd: -l) _,. A * x-I„, (Ax) = lim-lim —K — r— = ax-lim —-— = a * ln при д * -оА * дх-0 лк д * -о ах QAx_j Из lim-m = lna (гл. V, § 2, п. 2, см. Пример 3). Ах ах Вот так {axY = ax- \ pa. (17)

В частности, если а = е, то (**) ‘= e * (18) От 1pe = 1 4. Производная логарифмической функции y = \ ogax. Получить значение x из области определения логарифмической функции и дать приращение Ax. Тогда функция приращения by = loga (x + Ax) -log, x = log, ^ ^ = loga (1 + ■ Щ). так М + т) (Iog „*) ‘= lim lim -V- ^. Dh-O Dh-0 Чтобы найти это ограничение, сделайте следующее преобразование: (‘+ £) _,’ ‘+ t), Ах ах х Считайте, что величина x постоянна, а Ax-> 0 Lh Также — O, Ch в формуле (25). V, § 2 приобретение > 08.1 ‘+ ^) lim ^ = lim так = -. ободок L D £ X х д * -о (Bgex) ‘= -logfle, (19) (19 ‘) или «Освещение Флориды» Я с того времени (1 ° £ x) ‘= — В частности, если а = е: (Lnx) ‘= i, (20) log;, так как e = . 5. Функция y = sin l: и y = производная от cosx. Пусть Ax будет приращением произвольно выбранного значения аргумента x функции * / = sinx.

Тогда эта функция увеличивается Ay-sin (x — \ — A l) -sinx = 2 sin ^ • cos ^ x + d 2 Sin -tr • COS (+ «2») (Sinx) ‘= lim / = lim —- = d * —0 av d * -o , Ад: см- 2 / О \ = lim-r- • lim cos x — {- »- = cos x, D * -0 тз! Дд; — »0 В ^ / Потому что Ch. Уравнение (18) из V, § 1, пункт 7 Rim. = если кукуруза (x- \ = cos x. Dx-vO A * -0 V «/ 2 Вот так (Грех х) ‘= cosx. (21) Производное выражение функции y cos x выводится аналогично. (Cosx) ‘= -inx. (22) Рекомендуется, чтобы читатели получили формулу (22) независимо. Пример 2. Найти приращение Dy функции y-x3 при передаче аргумента из точки x0- \ в точку x-1.1. Решения. Согласно уравнению (2) = / () — / < O> = (1, 1G — 13 = 0,331. 2.

Определите непрерывность функции, используя концепцию увеличения аргумента и увеличения функции Учитывая ваше V (§ 2, раздел 1), определение непрерывности функции, функция y-f (x) называется непрерывностью в точке x0. Лира / () — / ( o) — (5) Х х0 Предполагалось, что функция f (x) определена в точке x0 и некоторых ее соседях. Это определение может быть сформулировано с использованием концепции приращения функции и приращения аргумента. На самом деле уравнение (5) ясно lim [/ () — / ( „)] = 0. (5 ‘) X- * X0 x-x0-Ax и f (x) -f (x 0) = A y, x- * x0 Ax-> 0 (и наоборот, если Ax-> 0 x- * n0) (5 Вместо ‘) мы получаем следующее выражение, эквивалентное выражению (5): lim D // = (). (6) Dx 0 Другими словами, функция y = f (x) непрерывна в точке x0, только если минутное приращение аргумента Ax соответствует минутному приращению функции A y. Замечания.

Если функция y = j (x) становится прерывной в точке x0, Ax- »0 Au становится ненулевым или неограниченным пределом. Основные правила дифференциации Зная производные терминов, факторов, дивидендов и делителей, установите правила, которые могут находить суммы, продукты и производные конкретных функций. Эти правила сформулированы следующей теоремой.

Теорема 1. Если функции uu (x) и u = v (x) дифференцируемы в конкретной точке x, их сумма дифференцируема в той же точке, а производная суммы равна сумме производной членов Это становится. (A + cO’-i’H-v ‘. (23) Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (x) = u (x) 4-v (*). • Аргумент n увеличивает значение до Ax. Шаг приращения D u-u (x-yes) -u (x) и Av = u (n * 4-Ax) -v (x) Функции а и v. Тогда функция у получает приращение Ay = / (xAX) — / (x) = [u (x 4-Ax) + v (x + Ax)) — [u (x) + y (*)] = [u (x -) — u ( x)] 4- [v (x 4-Ax) -u (x)] = Di 4-Au. так Y- = Лим Лим Лим Лим Лим Dx-O * x D * — * 0 * X вниз D.g-0 al Поскольку предложение не отличается от функции, ,. Да. Dy, lim m = u D.s- »0 D * -0 Ач Следовательно, у ‘= и’ 4-я ‘. так (А 4- = «W-s». 3. Уравнение (23) легко обобщается на любое конечное число членов. (II + 0 + … + /) ‘= «‘ + ✓ + … + / ‘. (24)

Пример 1. Найти производную функции // = x3 + sin l: + lnx. Решения. Применяя сначала уравнение (24), затем применяя уравнения (16), (21) и (20) y ‘^ (r * -b sin x 4-In xy = (x3)’ -b (sin x) ‘-b (In x)’ = 3.va -f cos x Теорема 2. Если функции u-u (x) и v-v (x) дифференцируемы в конкретной точке x, их произведения дифференцируемы в той же точке. Производные продукта можно найти по следующей формуле: (Uv) ‘= u’v — {- uv’. (25) Доказательство. Пусть y = f (x) = u (x) • v (x). Когда x получает приращение Dx, функции u и y имеют соответствующие значения. Задачи, которые приводят к понятию производных Скорость проблемы.

Переместить массу по прямой в соответствии с законом с- / (/). (7) Где t — время, а s — маршрут, пройденный в момент времени t. Обратите внимание на конкретное время / 0. В этот момент точка прошла путь s0- / (/ 0). Поставлена задача определения скорости v0 точки массы в момент времени t0. Мы рассмотрим другие моменты / 0 + D / для этого. Соответствует расстоянию перемещения s = / (/ 0 A /). Затем в течение периода D— / 0 точка прошла путь As-s — s0 = / (/ 0-fД /) — / (/ 0) (Рисунок 131). Средняя скорость движения b’ср за определенный период в качестве usr = d7 Расстояние, пройденное во времени. Предположим, что первый момент / 0 фиксирован, а временной интервал At является переменным.

После этого средняя скорость игры будет переменной Зависит от Ноя, Ат. c- «» c _ Скорость у0 на этом мо-дже t0 называется средним Значение скорости i »cp при At- + 0, т.е. рис. 131 в качестве y0 = lim (8) Об A / -w или „O =, ira (MM. (S) А / -0 Поэтому, чтобы найти момент / 0 скорости v0, нужно рассчитать lim I «« + * <) -! ( «)). (10) A / O Проблема плотности удочек. Рассмотрим еще одну проблему в решении, которая требует нахождения такого же рода ограничений. Дает тонкий, прямой, неоднородный стержень длины /. Определите плотность стержня в любой точке.

Предположим, что стержень находится на оси Ox, и один из его концов совпадает с началом координат. Затем каждая точка на шкале соответствует определенной координате х. Масса отрезка стержня между точками с координатами 0 и x обозначается через t. Ясно, что m является функцией x: m = f (x). Рассмотрим две точки на стержне, неподвижную точку x0 и переменную точку x0 + Ax. Длина отрезка стержня между этими точками равна Ax, а масса Am = • / (. Y0 + Ax) -f (x0). Отношение ^ называется средней плотностью стержней на отрезке Из точки x0 в точку x0 + Ax. Плотность стержня в точке xy является пределом средней плотности, когда длина отрезка Ax стремится к нулю. 6 = lim lim / (* <■ + *> — / (.>, (11) Ах А * О

Рассматриваемая проблема заключалась в том, чтобы найти такой же тип ограничения, то есть соотношение между приращением функции и приращением аргумента, несмотря на различное физическое содержание. Многие задачи из разных областей естествознания приводят к поиску такого рода ограничений. Поэтому рекомендуется изучить указанный предел более подробно и показать, как его найти. Определение производной и ее механический смысл Производная функции y = f (x) в определении x0 является пределом отношения приращения функции A y к приращению аргумента Ax в этой точке, что приводит к произвольной тенденции Ax к нулю.

Дифференциальная функция y — [(x) в точке x0 обозначена / ‘(x0). Итак, по определению, T (* o) = H2O2) д * -о или Γ (.) = Lim ‘<, + A ) — / (,). (13) DX O BX Для одной и той же функции y-f (x) производные в разных точках x могут принимать разные значения. Другими словами, производная может рассматриваться как функция аргумента x. Эта функция называется производной функции f (x) и обозначается через f (x) («ef prime from x») *. Следовательно, производная функции f (x) в точке x0 является значением функции f ‘(x) в точке x0. Другие обозначения используются с обозначением дифференциальной функции f ‘(x). Например, уу’х, [f (х)] ‘х.

Пример 1. Найти производную функции y = x2. Решения. Найти приращение функции Au. Au = (x + Ax) * -x * = 2xAx + Ax2. Используя определение производной и предполагая, что х является фиксированным, ‘,’ = Обод = обод Iim (2x + Dx) = Dx o D * -o Ddg o Следовательно, производная функции xa равна 2x: (x2) ‘= 2x. Поскольку значение x выбрано произвольно, эта производная определяется по оси значений. Пример 2. Найти производную функции y-x2 в точке x = 2. Решения. Подставляя число 2 вместо x в общем выражении для производной определенной функции: Нахождение производной функции называется производной этой функции.

Возвращаясь к вопросам, рассмотренным в Разделе 3, легко заметить, что для каждого полученного ограничения есть деривации. В первом задании l- обода в То есть скорость v линейного движения материальной точки в момент времени t является производной пути s по времени t. Это механическое значение производной. Второе задание b = e lim = ha ‘. о : 0 То есть плотность b в точке x линейного стержня является производной массы m по длине x. 5. Дифференцируемость функций Определение 1. Функция y = f (x) с производной в точке x0 называется дифференцируемой в этой точке. Определение 2.

Если функция y = f (x) дифференцируема в каждой точке этого интервала, она называется дифференцируемой в интервале (a, b) t. Например, функция y = x * дифференцируема в любой точке x (т. Е. Есть производная). Следовательно, его можно назвать дифференцируемым по бесконечному интервалу (-оо, то есть по всей числовой оси). Докажем следующую теорему, которая устанавливает связь между дифференцируемостью di ((x ()) и непрерывностью функции. Если теорема y = .f (x) дифференцируема в точке xot, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Предположим, что аргумент x равен x0 и получает приращение хχ, не равное нулю. Соответствует определенному приращению функции A y. Рассмотрим очевидное тождество Au = Ax. Когда предел достигнут: lim Ay = lim lim lim Ax = / ‘(x0) -0 = 0, Ах ~> 0 Ах-о \ J Ах- * о Ах- * о Оттуда, гл. Непрерывность функции y = f (x) по 2 Здесь Ilm- = st> At-> 0В точке х0. Обратная теорема неверна. Существуют непрерывные функции, которые не могут быть дифференцированы в какой-то момент. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию y = \ x . В точке x = 0 функция f (x) = \ x \ непрерывна. 1) / <0> = 101 = 0; 2) lim / (x) = lim | x | = 0; 3) lim / (x) = f (0) = 0 Х • * ОХОХ- * 0 Функция f (x) = \ x \ указывает, что точка x = 0 не имеет производной. Сначала отметьте точку х. = 0 Ax — x — 0 = x.