Оглавление:
Уравнения движения системы тел во втором приближении
- Уравнения движения системы тел во втором приближении. Как вы можете видеть ниже (§110), Он излучает гравитационные волны, теряя энергию. Это Однако потери появляются только в пятом приближении 1 / с. В первых четырех приближениях энергия системы остается Constant.
В результате система гравитации тела Может быть точно описано с помощью функций Лагранжа В отличие от электромагнитного поля, для членов порядка 1 / с4, Если существует лагранжева функция, то в общем случае До второго слагаемого (§65). Я дам тебе здесь Вывод лагранжевых функций систем с точностью до членов Вторичный.
При этом игнорируются размеры и интерьер Строение тела Людмила Фирмаль
Так что найдите уравнение движения Примерная система, следующая за Ньютоном. . Это считается «точкой». Другие слои Вы, мы ограничены нулевым сроком разложения следующим образом Размер тела и размер взаимного расстояния
Чтобы решить эту проблему, вам нужно начать с оп Распределение в соответствующем приближении слабой гравитации Поле, созданное объектом большого расстояния По сравнению с размером, но маленький в то же время Длина гравитационной волны, излучаемой системой A (a <r < <C A до lc / v).
- До 1 / с2 значение заказа вдали от тела Дается по формуле, полученной в предыдущем абзаце, Я буду использовать эти выражения здесь, поэтому я укажу их там Зенями в форме (105.6а). § 105 это поле Создан только одним телом (в начале координат). Тем не менее, потому что поле является линейным решением Уравнение Эйнштейна, принцип Совмещение.
Таким образом, поля, которые находятся далеко от системы организма, раскрыты Просто суммируя каждое поле. Написать в форме (106,1) (106,2) где но Система точек имеет ньютоновский гравитационный потенциал (Ха — радиус-вектор объекта массы ta) -интервал формулы Метрические тензоры (106.1), (106.2): ds2 = ^ 1 + ^) c 2dt2- ^ 1-4 ^) (dx2 + dy2 + dz2). (106,3)
в уравнении движения Поправочный член времени жизни частицы Людмила Фирмаль
Основной термин для ip В goo5, а также ga / #; §87, , га / # равен Заказ меньше, чем производный термин Goo, в этом отношении, по сравнению с уравнением Ньютона Не могу определить движение
Как вы можете видеть ниже, желательно Уравнения движения достаточно, чтобы знать пространственное уравнение (106.1) происходит с точностью, полученной в (~ 1 / с2); смех Тот же компонент (не в приближении 1 / с2) Требуется точность 1 / s3 и временное Точность 1 / с4. Поверните снова, чтобы рассчитать их Учитывая их соответствующие члены, общее уравнение для гравитации Заказать.
Я должен написать тензор энергии, игнорируя размеры тела Гигамомент веществ форм (33.4) и (33.5) изогнутый Координаты, эту формулу можно переписать как (Фактор 1 j y / –g сравнивается с тем же переходом Move (90.4)); итоговая сумма выполняется для всех тел Система. компонент к (106,4) но В первом приближении (Galileo g ^) равен ^ 2amac2S (г-га).
В следующем приближении подставим g ^ после (106.3) Простой расчет Слишком = J ^ m ac2 (1 + ^ + ^) <S (r-r a), (106,5) но Где V — нормальная трехмерная скорость (va = dxa / dt) и (^ a Потенциал электрического поля в точке ra (бесконечная часть Потенциальное поле собственного поля частицы Примечание; см. Ниже).
Для компонент Ta / z и Toa тензора импульса энергии, Для них достаточно оставить это в покое, с тем же приближением Первый член выражения расширения (106.4): T a / 3 = ^ 2 m a Va a V afj (Sr-Г0), Т0а = до ^ ГпаСУаа6 (r-Га). Тем не менее, (106,6) Далее приступим к вычислению тензорных компонент Полезно создавать программы, используя формулы Rik = glmRlimk и Rlimk. (92.1).
Кроме того, сумма Члены с порядками 1 / с2 или выше и hoa-1 / с3 или выше. отличаться x × = ct, то увеличиваем порядок малости 1. я? Основной член Оо — порядка 1 / с2. С ними мы должны Сохранить следующий не потерянный член 1 / с4. Результат получается с помощью простого расчета: p ld fd h S 1 ^; \, 1 *. | га | 3 га ^ C + 2AhK + 2h _ _ ldhoo (2 ^ l _ dh «\ 4 \ dha) 4dx 0V dha dx0) ‘
Никаких дополнительных дополнений в этом расчете не используется. Количественное относительное состояние / ^. Используя эту свободу Теперь мы налагаем на них условия YOK _ J = o (J6.7) dh a 2s dt V ’ В результате термин Биологический компонент ТСЖ.
Для остальных членов, вместо привет = — ^ <PSL hoo = ^ (P + o {^ i) И получите следующее с необходимой точностью: -Roo = ^ A / i0o + -4 (v ^) 2> (106,8) 2 секунды Здесь оно изменилось на трехмерную запись. При расчете компонента достаточно сохранить его.
Первый элемент заказа не стирания-1 / s3. как Сразу „1 d2hj 1 a2h $ i d2hl i 0a «2c dt dx’3 + 2 dxadx13 2c dtdx ° + 2 0a И предмет условия (106.7): Lo «= 1 DLOA + (106,9) Сконфигурируйте, используя полученную формулу (106.5) — (106.9) Теперь уравнение Эйнштейна: Рик = ^ {Т ик — 1гикт). (W l o) Компонент времени уравнения (106.10) равен A / тоже + 4gҐ> A </? — ^ (V <^) 2 = ^ m «c2 {} + ^ + ~ Ga ^;
но Используя личность 4 (Vip) 2 = 2A (ip2) -4 <pAip. И потенциальные уравнения Ньютона A (p = 47tk raa5 (r-ha) (106,11) но Перепишите это уравнение в A (hoo- ^ ip2) = + + ^ f-) 5 (r-r a). (106.12) но После всех расчетов заменил справа Уравнение (106.12) IPA на / 7 тонн 9а? J ^ J. б
То есть потенциал в точке ра поля, созданного всеми телами, кроме тела Потенциал тела (по-нашему, Соответствует «втягиванию» их масс (поскольку тело имеет смысл) В результате они имеют реальное значение. Учитывайте поле, созданное самим телом 1). Решение уравнения (106.12) можно записать сразу и учесть Таяние известных отношений (36.9) A- = -4mT8 (г). г
Поэтому мы находим , 2 (p 2 (p 2 2k rriaVa 3fc maVa2 (L (A LA) hoo = -T + -r — 4 2 ^ ■ y I — J 2 ^ ■ y (106.13) C C C Z ‘g-Ha C Z’ g-Ha а. но Смешанный компонент формулы (106.10) представляет собой A / 10a = — ^ r ^ 2 r n avaaS (r-r a) — (106.14) но Решение этого линейного уравнения 2) 7 _ 4k ^ GPdUdd ___ 1 / 0 a «C3 ^ | g-g a | _ C3 но Где / — решение вспомогательного уравнения КТА A f = <p = -Y l те ар = 2 / 1G-Ha | Учитывая соотношение Ar = 2 / г, к т п \ г-га
И после простого расчета, наконец, hoa = A U2, что | [7Vaa + (van a) naa], (106.15) 2c ‘| r-r0 | но Где na — единичный вектор в направлении вектора r-ra. Уравнения (106.1), (106.13), (106.15) достаточны Расчет целевой функции Лагранжа до срока Вторичный.
Лагранжева функция одного объекта в гравитационном поле, cos Предоставлено другими учреждениями и рассматривается как данное: (] D) / q) a ip1 q) a \ 1/2 La = -m ac— = -m ac (1 + / 10 + 2h0a- —- f + haj3- ^). с с J Развертывание радикалов и пропуск неважных констант —Shas2, переписать эту формулу с необходимой точностью как T mav \, mav \ L a ~ — + -m aC2 (^ f + hoa ^ f + (10.6.16)
Все значения hik здесь взяты в точке ra. снова Бесконечные члены должны быть опущены Это сводится к «втягиванию» массы ма. Коэффициент ла Дальнейший процесс расчета заключается в следующем. полный Конечно, функция системы Лагранжа L не равна сумме La работает для отдельных тел, но должен быть настроен
Я действую, чтобы привести к правильному значению силы фа Нажмите каждое тело для определенных движений других людей. для Дифференцируйте функцию и рассчитайте силу фа Лагранж Юра: (Дифференцирование выполняется по бегущим координатам г Точка наблюдения по формуле h ^).
Тогда легко Построим общую функцию L вот так, и оттуда все та же сила fa Получается путем получения частной производной дл / дра. Не увязая в простых промежуточных вычислениях ni, немедленно дайте окончательный результат функции 15 * Лагранж 1): Тау \ 3кмамбвл мав \ 2 2 ^ 2 ^ 2 c2rab ^ 8c2 CL CL I) CL CL I) -TG ^ [7 Ky) + (van a6) (v6n a6)] - z z ‘4c rab а б Вт к2татц, л (л.с., л -E E E i s ^ r- <10v17) а б в Где m, = \ ra-17, | и n a ^ — единичные векторы в направлении r a-r ^.
И главный знак означает, что термин должен быть опущен Когда b = a или c = a. Задача 1. При определении действия гравитационного поля в случае Ньютона Рядом. Решения. Используя gik (106.3) согласно уравнению (93.3), G = = 2 (V <^) 2 / c4, поэтому действие на поле Полное действие на поле с массой, распределенной в пространстве Для плотности: s = / / [‘T-w-i s (vrf) ’n’ <, t (1) Легко проверить изменение S (p Уравнение Пуассона (99.2)
Плотность энергии можно получить из плотности функции Лагранжа A (Интегральное выражение (1)) Согласно общей формуле (32.5) В этом случае (А к (р Изменить знак второго и третьего участников (вовремя). интеграция Подставляя во второе слагаемое, плотность энергии пространства rp = (pA (p / (47gk)) и, наконец, интегрировать его в деталь
Полная энергия полей и материалов в форме J L 2 8тг / с ‘J В результате плотность энергии гравитационного поля Ньютона Теория W = — (V <^) 2 / (87rfc) 2). 1) Уравнение движения, соответствующее этой функции Лагранжа Впервые приобретены Эйнштейном, Инфельдом, Гофманом (А. Эйнштейн, Л. Инфельд, В. Хоффман, 1938) и Эддингтон и Кларк (A. Eddington, О. Кларк, 1938).
2) Чтобы исключить возможность недопонимания, Не соответствует псевдо-тензорной составляющей энергии-импульса (-g) (106.3) число Гика); вклад W также приходит из (-g) T ^. 2. Определить координаты центра инерции гравитационной системы Во втором приближении. Решения.
Рассматривая полную формальную аналогию между новыми законами Тон гравитационного взаимодействия и закон электричества Кулона Статическая координата взаимодействия центра инерции задается формулой Аналогичная формула получена в вопросе 1§65. 3.
Определите перигелиальное вековое смещение двух гравитационных орбит Тело сравнимой массы (Н. Робертсон, 1938). Решения. Лагранжева функция системы двух тел Перейдите к функции Гамильтона и исключите из нее инерционное движение (Сравните вопрос 2§65), получите Где р — импульс относительного движения.
Определим радиальную составляющую импульса rg как следующую функцию: Переменная r и параметры M (момент импульса) и $ (энергия). Эта особенность Определяется из уравнения Ж = & (в данном случае с точки зрения второго порядка: Дальнейший процесс расчета аналогичен процессу, выполненному в §101.
Интегрирование из записанного алгебраического уравнения rg Преобразуйте переменную r, чтобы получить член, содержащий M, Ш1Ш2 [3 (vl + vl) -7 (viv2) — (vin) (v2n)] 2с г к2 м \ м2 (ми + м2) 2c р _k 2 & Замените p2 приближением нулевого порядка): В формате М2 / г2.
И в крайнем выражении, Небольшую релятивистскую модификацию получим = N a + (Ср. (101.6)), где A и B — постоянные коэффициенты, Это не обязательно. В результате перемещаем перигелий орбиты относительного движения Мы получаем ~ _ ^ ‘Kk2t \ t2_67rfc (ми + м2) φs 2 лМ / T 2 s 2 a (T l1-e 2 \) * (101,7) по сравнению с заданным размером и формой траектории Движение перигелия такое же, как движение тела.
Фиксированное центральное поле массы mi + Ш2. 4. Определите частоту прецессии в исполнении шарового верха Движение бита в гравитационном поле, вращающемся вокруг оси Центральное тело. Решение: в первом приближении отображается желаемый эффект Сумма двух независимых частей.
Один из них связан с неньютоновским Центрально-симметричное поле (Н. Вейль, 1923) и другое поле для вращения Нижняя центральная часть тела (L. Schiff, 1960). Первая часть объясняется в дополнительных терминах функции Реглана Вершина, соответствующая второму члену в (106.17).
воображать V- отдельных элементов вверху (масса dm) в виде v = V + [wr] Орбитальная скорость, w-угловая скорость, радиус глаза, радиус g Тор элемента dm (интеграл в верхний центр инерции Верхний объем f g dm = 0).
o упущение членов, независимых от o, и Игнорирование члена второго порядка w 5Wl = Zctp ‘G 2 (Y [o> r]) 2s2 J R дм Где m — масса центроида, R = | Ro + g | -дистанция от центра поля Для элемента dm Ro — радиус-вектор верхнего центра инерции. Когда Ласло 1 / R x 1 / Ro-pg / Rq (n = Ro / i2o) является интегралом первого слагаемого Исчезли и во второй интеграции официальный р дин- Где я — верхний момент инерции.
В результате <5 (i) L = Zm / 2 секунды Где М = Иш — верхний вращательный момент. Дополнительные условия для лагранжевых функций из-за вращения цены Резкое тело можно найти в (106.17), Рассчитайте, используя уравнение (1) из задачи 2 до 105. S ^ L = U [M ‘^ 3 ^ дм, c2 J R Где М 7 — момент центрального тела. Макет R n 1 § 106
Формулы движений системы тела во втором приближении EII 459 После интеграции S (2) L = ta (MM’-3 (pM) (pM ′)}. На К0 Таким образом, полное дополнение к функции Лагранжа ^ 1 секунда SL = -MP, n = if ^ [„v0] + ^ {3n (nM ‘) -M’}. Z с ilQ с ilQ Уравнение движения соответствует этой функции. Hg = [День] (См. Уравнение (2) из задачи 2 в §105). Другими словами, верхний момент М Прецессия с угловой скоростью S1, Ранг.
Смотрите также:
| Гравитационный коллапс несферических и вращающихся тел | Слабые гравитационные волны |
| Гравитационное поле вдали от тел | Гравитационные волны в искривленном пространстве-времени |
