Оглавление:
Гравитационное поле вдали от тел
- Гравитационное поле вдали от тел. Рассмотрим общее стационарное гравитационное поле Расстояние r от тела, которое его создает и определяет первый член 1 / г расширение мощности. Вдали от тела поле слабое. Это пространственная метрика Государственное время здесь почти Галилейское.
То есть вы можете выбрать это. Система отсчета, содержащая компоненты метрического тензора Почти равный значению Галилеи: §00 = SoJ = °> SaJ = _ (W- (105,1) Следовательно, гик выражается в виде gik = gik) + hik, (105,2) Где небольшие поправки, которые определяют гравитационное поле? Согласитесь манипулировать тензором и поднять его дальше Затем опустите индекс, используя «невозмущенную» метрику. h \ = g (Q) klhu-n.
Контравариантная составляющая тензора измерения Людмила Фирмаль
В этом случае необходимо различать исправления и hlk. glk. по Последнее определяется путем решения уравнения gilglk = (gil) + h U) glk = 6k; Поэтому, вплоть до небольшого значения второго порядка, gik = gik (0) _ hik + hihlk (1 0 5 .3) Метрический тензорный определитель с той же точностью g = g (°) (l + h + \ h 2-l-Kkhk), (105,4) Где h = h \.
Мы сразу подчеркиваем, что для похода малости никогда не бывает условий Исправьте свой выбор системы отсчета. В этом состоянии Работает при запуске в любой системе После преобразования x’r = xr + Јr, где мало Количество. Согласно (94.3) тензор hik равен h \ t = hik-0- (105,5) Где & = g j ^ k (для постоянства ковариантной производной) (94.3), в этом случае оно будет сведено к нормальным производным. nym) 1).
- В первом приближении до 1 / г порядка слагаемых, Небольшое дополнение к значению Galileo дано соответственно Общий термин для развития центросимметричной метрики Шварцшильда. Как описано до бесконечности Возможность выбора системы отсчета (бесконечный Galileo), Конкретная форма H ^ зависит от того, как это определяется Радиальная координата g.
Следовательно, метрика Шварцшильда Выражается в формате (100.14). Большое r определяется выражением (100.18). Введите его от sfe Декартовы пространственные координаты (таким образом, dr = nadxa следует заменить. n — вектор единицы направления ленивый г), чтобы получить следующее значение. hoo = ha / 3 = -fVn anfj, = 0, (105,6) Где рг = 2 км / с21).
Некоторые из членов встречаются в Нелинейность уравнения Эйнштейна вытекает из членов Первый заказ Людмила Фирмаль
Среди вторичных членов, пропорциональных 1 / г2, Член двойного происхождения. . Последнее зависит только от массы (однако Только от этого, а не от других характеристик тела Эти квадратичные члены также зависят. Таким образом, Эти условия могут быть получены путем разложения Шварцшильда Индекс.
Найти по тем же координатам hoo = °> hal = n * nP- (105,7) Второе оставшееся условие возникает как соответствующее Решение линеаризованных уравнений поля. иметь Приложение также линеаризовано Напишите уравнение сначала в уравнении, в более общем виде де, что вам нужно здесь — не стоит сразу рассматривать стационарность Поле.
Для малых значений T ^ Небольшое количество воды из хик5. Игнорируя степень выше первой, Остается только член тензора кривизны (92.1) Первая скобка: 73 _ 1 / d он | д hki d hkm & hii \ iklm-2 \ dhkdh1 dh1dht ~ dx (dx1-dhkdht) ‘^ Богатый тензор имеет такую же точность. Rik = glmRlimk и glm {0) Rlimk, или m> _ 1 (lm (0) ® hjk. d hj d hk _ d h \ / ‘inccо Уравнение (105.9) можно упростить с помощью Постоянная готовность в выборе систем отсчета.
Другими словами, Наро нажмите hik 4 (для любого количества функций) Носимые условия ^ = 0, Φ1 = hf- \ 5 * h. (105,10) Тогда три последних слагаемых в (105.9) взаимно отменяются, оставаться Рик = -1 гМ °) (105,11) lk 26 dxldxm K ’ В устойчивом случае интерес здесь, ч ^ Независимо от времени формула (105.11) имеет вид = = A / r ^ / 2, где A — оператор Лапласа для трех пространств. Координаты.
Уравнение Эйнштейна для поля в пустоте Таким образом, вы получите для уравнения Лапласа hik = 0, (105,12) Использование дополнительных условий (105.10) ^ (<• 2- ^ 2) = 0, (105,13) = 0 (105.14) Обратите внимание, что эти условия еще не установлены Совершенно однозначный выбор систем отсчета.
Легко увидеть Если h ^ удовлетворяет условиям (105.13) и (105.14), Гирк (105.5) удовлетворяет тем же условиям, когда: Удовлетворить только уравнения A f = 0. (105.15) Компонент / Goo должен быть указан в 3 скалярных решениях Пространственное уравнение Лапласа. Это решение пропорционально 1 / г 2 имеет форму V (л / г), как вы знаете. а постоянный вектор.
Но члены этого типа W / Go всегда могут быть исключены Просто сместив происхождение первого термина Около 1 / г. Поэтому присутствие таких членов Это просто указывает на то, что выбор начальной точки не удался, Поэтому мне это не интересно. Компонент hore задается векторным решением уравнения La Plaza, то есть форма обязательна Следовательно, \ ar должно быть в форме aar + A5ar.
Где Антисимметричный тензор. Однако решение вида A -> — есть Условие выполнено (105.15)). Поэтому реальный смысл Есть только решение Наконец, более хлопотно, но похоже Ожидания могут указывать на правильное преобразование Вы всегда можете исключить пространственные координаты га / 3 тензор (симметричный с CE, / 3), заданный решением Уравнение Лапласа.
Что касается тензора Аара, то он связан с полным тензором. Окончательное представление момента Ma ^ и hoa имеет вид Покажем это путем вычисления интеграла (96.17). Мартовский момент связан только с hoa, поэтому при расчете Все остальные компоненты можно считать отсутствующими.
С (96.2) до первого слагаемого hoa, (96.3) (ga0 = -ha0 = haо, но учтите, что -g отличается от 1 Только вторичное количество): Где \ ar — постоянный тензор. Состояние (105.14) крыша преобразование ° = A / r, = 0 ( хоа-дап дхр г • д 1 ha0 (3 _ s4 d (G V-G V) с4 дд (Haofi / 3’y h «y0 167GK DH7 167GK DH7 При замене здесь (105.16) второй член под символом
Водные организмы исчезают, и первый haOP = _ ± m ■ _ & 1 = _Ј_m 87г дх ^ дх1г 87гг Используя эту формулу, На поверхности сферы радиуса r (96.17) формула (d / 7 = n7 r 2do): -j) (xahP0lf-x ^ hOL ^ 1) df1 = -j-J (n a n 7 M ^ 7-n ^ n7M a7) do = 1 2 = — ~ -6j3 ^ Ma ^) = -. По тому же расчету \ j \ a ^ d f 7 = -j L-j i h ^ d f i-hfiQdfa) = h -iafj.
Если вы добавите обе величины, вы получите требуемое значение март. В общем, подчеркивайте, когда поле близко к телу Может быть, не слабый, март вместе В гравитационном поле. Только если поле довольно слабое Феномен, его вклад в данный момент можно игнорировать 1). Уравнения (105.6), (105.7) и (105.16)
Точные вопросы на условиях порядка 1 / г22. ковариант Метрическая тензорная составляющая: Sik = sik1 + + hfk • (105.17) Кроме того, согласно (105.3) контравариантный компонент Одинаковая точность gik = gik (0) _ hik (1) _ hik (2) + fi (l) hlk (l) ‘(105.18) Выражение (105.16) можно переписать в векторном формате how1) g = [пМ]) (105,19) Где М — вектор суммарных моментов тела.
В задаче 1§88 В устойчивом гравитационном поле на частицу «Кориолисова сила» действует так же, как и Частицы в системе отсчета, которые вращаются с угловыми скоростями: o = «\ / st> orotg- Поэтому в области вращающихся тел Сила Кориолиса, соответствующая углу Вой скорость: ft «^ rot g = — ^ d [M-3n (Mn)]. (105.20)
Наконец, примените формулу (105.6) для расчета поля Гравитационная энергия путем интегрирования (96.16). расчет Залейте требуемый коэффициент hlkl по формуле (96.2), (96.3), С необходимой точностью (оставьте термин около 1 / г 2): ha0 @ = 0, 7 00a _ c4 d, d ^ h _, xahr \ _ tc2 pa 167 GK dhR 8p dhR \ g g3) g2 Если вы объединитесь в (96.16) на сфере с радиусом r, вы получите окно Без сомнения: = 0, P ° = mc (105,21)
Естественно ожидаемые результаты. он Факты равенства, как говорится, «тяжелые» и «инертные» «Масса» («Тяжелая» называется масса, которая определяет создание Гравитационное поле, которое принимает тело, — это масса, которая входит Метрический тензор гравитационного поля, или особенно Закон Ньютона; «инертная» масса определяет соотношение Между импульсом и энергией тела, особенно оставшейся энергией Тело с2) равно массе.
Для постоянного гравитационного поля, Вы можете получить простое представление об общей энергии вашего супруга Наряду с полем в виде интегралов только в пространстве, занимаемом веществом. Например, вы можете получить на его основе Следующая формула, действительная, если все величины не действительны зависит от х ° 1): == ^ = ^ ((/ = Јr <0 0 &). (105.22)
Интеграция и применение Rq y’-g в (3D) пространстве Гауссова трехмерная теорема, R ° 0V = gdV = j \ f ~ gЈ * ° Go * dfa. Получите полностью удаленную интегрированную поверхность, Используя выражение (105.6) для g ^ После простого расчета: Младший И согласно уравнению поля, Ro = * -f (r 0 ° — \ m) = ^? (T 0 ° -Tl-T l-t $), Получить желаемое выражение P ° = m c = -c J (T q-T \ -T l-T D ^ d V, (105,23)
Эта формула представляет общую энергию и постоянную вещества Гравитационное поле через тензор (т.е. общая масса тела) Только энергетический импульс вещества (Р. Толман, 1930). к В случае центральной симметрии поля Другая формула того же размера — формула (100.23). Задача 1.
Указывает, что формула (105.16) действительна для поля Предоставляется во всех пространствах вне вращающейся сферы Медленное вращение (момент M cmrg), но не требуется слабость Центрально-симметричная часть поля (А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, 1965; В. Грович, 1965). Решение: сферические пространственные координаты (x1 = r, x2 = c, x3 = f)
Уравнение (105.16) имеет вид ъ2кЙ. 2 q (Λ \ pos = -o- sm 0 * GF Эта сумма считается небольшой поправкой к метрике Шварцшильда ke (100.14), необходимо проверить соответствие уравнений, линеаризованных по Нозу R03 = 0 (в остальных уравнениях в поле поправочный член выпадает Как хорошо). R03 может быть вычислено с использованием уравнения (4) из задачи в §95.
Кроме того, линеаризация — это трехмерная тензорная операция. Должен выполняться в соответствии с «невозмущенной» метрикой (100.15). В результате Уравнение получается (L rg \ d 2hos, 2 rg sin0 d (1 dk0z \ _ n Y ^ ~ ^ ~ Дву ~ ^ в ~ Дв ~) Какая формула (1) действительно выполняется. 2.
Определить систематическое (долговременное) смещение траектории частицы: Движение в области центроида, связанное с последним вращением (J. Lense, H. Thirring, 1918). Решения.
Поскольку все релятивистские эффекты малы, Даны линейно друг другу, при расчете эффекта, Может быть проигнорировано от вращения центрального тела § 101 из-за влияния неньютоновости центрального силового поля симметрии.
Другими словами, вы можете рассчитывать, считая со всех хик HjQoL только с нуля Направление орбит классической частицы равно 2 Новый вектор: момент импульса частицы M = и вектор A = [L т ~ м-] я kmm’r Его сохранение уникально для Ньютон Филд ip = —км! / г (м! — Масса центроида, масса t-частицы), см. §15.
Вектор М Лейн Перпендикулярно плоскости орбиты, вектор A большой Полуось эллипса в направлении перигелия (размер равен ktt e, где e Эксцентриситет орбиты). Можно описать желаемое светское смещение орбиты Как изменить направление этих векторов. Функция Лагранжа (105.19) для частиц, движущихся в поле: L = -mc- = Lo + SL, 8 L = mcgv = ^ ^ (M ‘[v r]) (1) дт и г (Момент центрального тела представлен здесь М 7, в отличие от момента. Частицы М).
Следовательно, функция Гамильтона (ср. I, (40.7)) О, Ж = + 5Ж = — ^ (М ‘[гр]). R и Вычислить дифференциал M = [gr] + [gr], используя уравнение Гамильтона Тон т = <9J ^ / <9p, р = -gJ / г, получить 91 поколений м = — = — 3 [ММ]. (2) R и Поскольку нас интересует долгосрочный ход изменения М, его следует усреднить Отражение за период T вращения частицы.
Усреднение полезно Использование зависящего от времени параметрического представления r Эллиптическое орбитальное движение формы T r = a (1-ecosЈ), t = — (Ј-esinЈ) (A и e — большая полуось и эксцентриситет эллипса, см. I, §15): _ _________f _J_ _td [1 _ 1 T J r3 2na3 J (l-i (3) T J g3 27Ga3 J (1-экосистема) 2 a3 (1-e2) 3/2 Около 0 Следовательно, старение М определяется как дМ 2jfe [М; М] dt ~ c2a3 (1-e2) 3/2 ‘
То есть вектор М вращается вокруг оси вращения центрального тела, Размер не меняется. Аналогичный расчет для вектора А A = — | * — [M’A] + -J-g (MM ‘) [гМ]. с г с тг Эта формула усредняется таким же образом Сделано в приведенном выше, в этом случае это заранее ясно из рассмотрения симметрии Усредненный вектор r / r5 направлен вдоль большой полуоси эллипса.
Рассчитать по направлению вектора А. Расчет приводит к следующей формуле: Старение вектора А: ^ = [нА] ´n =? 7 f S j ^ {n ‘-3n (nn’)} (4) (N и n7 — единичные векторы в направлении M и M 7), то есть вектор вращения A Угловая скорость равна P, а размер не меняется. Последний из Ситуация означает, что орбитальный эксцентриситет не испытывал веками Вторая смена.
Уравнение (3) йМ — = [ОМ] в То же, что (4), т.е. ft — угловая скорость вращения «В целом» эллипс. Это вращение имеет дополнительные Смещение перигелия орбиты (относительно того, что рассматривалось в §101) Постоянное вращение плоскости вокруг направления оси тела (последний — * — / 2 Не имеет эффекта, если плоскость орбиты совпадает с экватором Центр самолета). Для сравнения, эффекты, изученные в разделе 101 Есть „67G ct П = са {1 —е? v) ± Fn-
Смотрите также:
| Гравитационный коллапс пылевидной сферы | Уравнения движения системы тел во втором приближении |
| Гравитационный коллапс несферических и вращающихся тел | Слабые гравитационные волны |
