Оглавление:
Тензор энергии-импульса
- Тензор энергии-импульса. В §32 были получены общие правила вычисления тензоров Энергетический импульс работающей физической системы Выражается как целое число (32,1) в 4 пробелах. Cree В линейных координатах этот интеграл форма S = -c J Al / ^ g d n (94,1) (В координатах Галилея g = -1, а S равно -f AdV dt).
Интеграция выполняется на протяжении всего (3D) Pro Блуждая между двумя данными моментами, Т.е. вдоль бесконечной области между 4 пробелами Две гиперповерхности. Как уже упоминалось в §32, тензор энергии-импульса Значение, деленное на (32,5), обычно не является прокладкой Метрика того, как это должно быть.
Вот еще один способ вычислить тензор энергии Людмила Фирмаль
Сделать Симметричный, должен был быть добавлен к выражению (32.5) Правильно подобранные члены формы дк rfikl = —Fick ■ . Guy Impulse, преимущество в возможности сделать это немедленно Это становится симметричной формулой. (94.1) выполняет преобразование из координат хх в координаты dinatam x’r = xg + Јr, вот небольшая сумма.
В этом случае Компонент glk преобразуется в соответствии с выражением gQ-fik (xfl) -Јlrn (xl) ®X’g®X’k-Q-lrn (si 4- ^ (sk 4- ~ (x) -g (X) dx1dht-ё [d1 + dx ‘)) {d ™ + dx ™) ~ И gifc (^) / ~ + og * m — ^ — + 5 5g w ^^ -. Тензор здесь является функцией xfl, а тензор glk является функцией Та же координата x1.
- Разверните, чтобы представить все термины как функцию одной и той же переменной gHk (xl + Јg) power, игнорируйте члены более высокого порядка Порядок, который может быть сделан с условиями, включая написание GLK вместо гфлк. Поэтому мы находим + «* §Ј + *» Ј {;. Вы можете легко проверить следующее непосредственно Три последних слагаемых справа можно записать в виде суммы ck + ^ k, контравариантной производной от r
Вскоре вы найдете преобразование GLK в следующем формате g tik = g ik + S g ik ^ S g ik = Јi; k + ^ 2) Ковариантные компоненты следующие: 8ik = igk N ”figiki $ §ik = Јг; kЈ / e; g (94,3) (Так что наименьшее первичное значение Условие ghgrkl = 6k) x) выполнено. Поскольку действие S является скаляром, Координаты не изменены. Между тем, действие 6S меняется Действие преобразования координат может быть записано как Общая форма.
Все эти члены были сведены друг к другу Благодаря физическому уравнению Людмила Фирмаль
Как в §32, q указывает определенную сумму Физическая система, к которой относится действие S. Во время преобразования координат значение q изменяется на 6q. в Тем не менее, в расчете 6S, Изменить д. «уравнение движения» Эти уравнения получены, делая их равными нулю Вариация q S.
Поэтому достаточно написать Термины, связанные с изменением г ^. Используйте метод Обычно, по теореме Гаусса, предполагая границу подынтегрального 8gtk = 0, 8S находится в форме 1) SS = — [{d ^ kA6gik + d ^ hAS ^ \ d Q = J \ dg’k e t d__ dx1 I dh1 Я = [\ u ± C J I dg’k dx1 a__ J 6 dh1 Вот обозначение 2 V rk rk Qgik dx ,, (•) dh1 СС принимает форму 2) 8 S = ± f Tik6gik ^ dЈl = ~ f TikSgik \ f — gdЈl (94,5) (Обратите внимание, что glkSgik = -gikSglk и, следовательно, T lk8glk = -T ikSglk). Где 6gtk заменяется формулой (94.2)
Учесть симметрию тензора T ^ \ s s = l c J Tik {e’k + i kn v ^ d ^ = -c J Tike-’kv = gdn. Затем преобразуйте это выражение в: SS = -CJ (T fC U V ^ gdO. -J -T kkC V 4 d n. (94,6) Первая интеграция с использованием (86.9) может быть записана как Преобразуется в интеграл на гиперповерхности. Это inte, потому что граница интеграции исчезает Святой Грааль исчезает.
Так что, если SS равен нулю, SS = —c J T * ke v = g d n = 0 Учитывая волю, Т кк = 0. (94,7) Сравнивая это уравнение с уравнением (32.4) dT ^ / dxk = 0, Когда сделано в координатах Галилея, тензор Вам необходимо определить, что определено в формуле (94.4) С тензором энергии импульса — хотя бы точно Для определенного фактора.
Что этот коэффициент равен 1, Например, вы можете легко проверить, рассчитав по следующей формуле: (94.4) Для электромагнитных полей: l = 107G FikFik = -10L7ГFikFlmgilgkm. Следовательно, следующий расчет возможен с использованием уравнения (94.4).
Тензор энергии-импульса путем дифференцирования A Константа метрического тензора (и его производная). В то же время Тензор Тик приобретается сразу в четко симметричной форме. форма la (94.4) полезен для вычисления тензора импульса энергии Не только когда есть гравитационное поле, Когда нет тензора взвешивания Происходит переход к ощущению и кривым координатам
В качестве промежуточного шага для формального расчета Уравнение тензора импульса электромагнитной энергии (33.1) Поле накала должно быть описано в криволинейных координатах Нати в виде Tik = h (~ FilFk + \ F ^ Flm ^) • (94-8) Для макроскопических объектов тензор энергии-импульса равен (Ср. (35,2)): Тгк = (П + е) щик пгик • (94.9) 368 Уравнение гравитационного поля CH.
запад Обратите внимание, что компоненты слишком всегда положительны 1): Слишком ^ 0 (94.10) (Смешанный компонент Tq обычно Знак льна). Оспаривать Рассмотрим возможные типы стандартных прокладок Метрический тензор второго ранга. Решения. Приведение симметричного тензора Aik к главной оси Это значит найти такой «собственный вектор» n. Aiknk = A u.
(1) Соответствующее главное значение A берется в качестве корня уравнения 4. степень \ A ik-Xgik \ = 0 (2) И тензорные инварианты. Соответствует количеству А Ваш собственный вектор может быть сложным. (Компонент Конечно, сам тензор Айк считается подлинным. ) Из уравнения (1) мы можем легко показать два вектора обычным способом. И n [2 \ AND A (2) соответствуют двум различным основным значениям, Ортогонально друг другу: nf) rj (2) 1 = 0. (3)
Особенно, когда в уравнении (2) имеется комплексный сопряженный корень A А A * соответствует комплексно-сопряженному вектору rii и n *, Должно быть tmp * = 0. (4) Тензор Айк представлен его главной ценностью и соответствующим термином Собственный вектор по выражению (5) SCHP (Если только один из nn1 не равен нулю — см. Ниже).
В зависимости от природы корня, уравнение (2) может быть выполнено. Три разных случая: I. Все четыре основных значения А являются подлинными. Также подлинный Кроме того, поскольку векторы π и все они ортогональны друг другу, Один из них должен быть пространственным, другой — временным (Может быть нормализовано в соответствии с условиями nn1 = -1 и nn1 = 1).
После того, как вы выбрали направление осей вдоль этих векторов, представьте тензор уход Айк / A <°> 0 0 0 0 -A <x> 0 0 0 0 -А (2) 0 ^ 0 0 0 -А <3U (6) II. Уравнение (2) имеет два действительных числа (A ^ 2 \ A ^) и два комплексных числа но-сопряженный (A’dizA77) маршрут. Комплексно сопряженный вектор n *, n *, Запишите в форме a и i ± ibi, соответствующие двум последним маршрутам.
с того времени Они определяются только с точностью до любого сложного фактора Для полей их можно нормализовать с условием πη = η * η * = 1. (4) Найти условие вещественного вектора a *, bi. aia + bibg = 0, afg = 0 и * ag-bib1 = 1 Оттуда a * ar = 1/2, bib1 = -1/2, то есть один из этих векторов является временным, a Другое пространственное направление1).
Выбор оси вдоль Пусть (2) r ^ (3) r (по (5)) r векторов a, b, n Ike — (A «0 0 в ‘A «-A» 0 0 0 0 _ A (2) 0 \ 0 0 0-A (3) (Семь) III. Если один квадрат вектора η равен нулю (nn1 = 0), это Вы не можете выбрать вектор в качестве направления оси. Однако, если вы выберете одну из плоскостей x ° xa, вектор Я лежу на этом.
Пусть это будет плоскость х ° хр. тогда О ТТТП. ■ Из n1 и уравнения (1) Aoo + ^ 4-01 = A, Ayu + Ac = —A, Откуда Аю-А + / х, Ас-А + / х, Аои / 1, Где / l — инвариант, который изменяется при вращении в плоскости. x ° xg; При правильном вращении его всегда можно превратить в материал. Выберите ось х, n <3> *, уменьшить тензор до Два других (космических) вектора A-gk- / A + / x 0 01 / + A —0 ^ 0 ‘ 0 0 —А (2) 0 ^ 0 0 0 -A (3) Y , (2) < (8)
Этот случай соответствует эквивалентности двух маршрутов (A ^ ° \ A ^) в уравнении (2). Для тензора импульса физической энергии материи, Если вы двигаетесь со скоростью, меньшей скорости света, возникает только первый случай.
Это связано с тем, что всегда должно быть Система отсчета, в которой существует поток энергии вещества, то есть компонентов Вы равны Дао, ноль. О тензоре импульса электромагнитной энергии В третьем случае волна A = A (2) = A (3) = 0 (см. С.119). Можете ли вы В противном случае, чтобы указать, что есть система отсчета Поток энергии превысил плотность, умноженную на c.
Смотрите также:
| Свойства тензора кривизны | Уравнения Эйнштейна |
| Действие для гравитационного поля | Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля |
