Оглавление:
Тензор кривизны в физике
- Тензор кривизны. Вернемся к концепции параллельного переноса вектора. Общий случай четырехпространственной кривой, как показано в § 85 Определен бесконечно малый параллельный векторный транспорт В качестве перевода, чьи векторные компоненты не меняются
Система координат Галилея для заданного бесконечно малого объемного элемента. xi = xl (s) — некоторое параметрическое уравнение Кривая (5 — длина дуги от точки), Тогда вектор u = dx1 / ds равен Curve. Если рассматриваемая кривая является геодезической линией, Наряду с этим, D u1 = 0. Это вектор u1
Двигаться по касательному вектору по геодезической линии Проводится параллельно с ним Людмила Фирмаль
Параллельный перенос из геодезической точки xg Если вы указываете xx + dx1 на одну и ту же линию, она соответствует вектору u1 + + Dul касаясь линии точки xr + dxl. Таким образом, . С другой стороны, параллельная передача двух векторов «Угол» между ними явно не изменился.
так При параллельном движении век Угол между тором и геодезической линией Вектор и касательные линии не изменяются. в противном случае На словах, вектор параллельного переноса, его составляющие Вдоль геодезической в каждой точке пути Это не изменится.
- Параллельно в искривленном пространстве Перенос вектора из одной точки в другую Если сделано по-другому, результаты будут другими. Особенно, когда вы переносите вектор Параллельно себе вдоль нескольких замкнутых петель, Он вернулся к исходной точке, не соответствует сам Самостоятельно Чтобы прояснить это, рассмотрим двумерную кривизну.
Пространство, своего рода изогнутая поверхность. к Рисунок 19 Кривая Тензор 349 Три геодезические линии. Опубликовать вектор 1 parall Слияние по контуру, образованному этими линиями Ями. Держите все при движении вдоль линии AB вектора 1 Когда под тем же углом, что и эта линия, входит вектор 2.
Общая формула является производной Изменение вектора Перевод по наготе Людмила Фирмаль
Двигаться вдоль B C Перейдите также к 3. И, наконец, При движении от С до А по Кри Вой, поддерживая постоянный угол Эта кривая, веко под вопросом Торус 1 и не соответствует Вектор 1 Бесконечно маленький замкнутый контур. Это изменение AA ^ можно записать в виде j> SA ^.
Взятые по этой схеме. Заменить на 5А и выражение (85,5), мы = kAA d x1] (91,1) Вектор A {интегральные изменения при переносе По контуру. Чтобы преобразовать этот интеграл дальше, Пожалуйста, обратите внимание на следующее: Значение вектора Ai во внутренних точках Контуры неоднозначны — они зависят от пути, по которому мы идем
Я здесь Тем не менее, Идите ниже результата, что эта двусмысленность вторична Мелочи Поэтому с достаточной точностью для конвертации Векторные компоненты могут быть учтены до количества первого заказа Ai точек в бесконечно малом контуре определяется однозначно
Разделите значение самой схемы на выражение 5Ai = T ^ Andx1, т.е. dAj _.rP. dh1 (91,2) Примените теорему Стокса (6.19) к интегралу (91.1) Контур огибающей области на рассмотрении Поверхность представляет собой бесконечное количество A f lm, AA, = — ■ 0 (ГЈтЛО <? (ГUAi) dh1 «9TL , dh1 DHT LA: — дециграмм дх ‘ Афлм = l I t-ii dAj y-, j dAj] d им * ~ S dx ™ \ * ‘
Если подставить значение производной (91.2), в конце концов = ^ W, A / 1m, (91,3) Где R l kim — тензор ранга 4. 7eg __ -rgrrn -rgrn / o 1 L \ klm fix ™ n kgp ft * -s * (^ yi.4J Тензорное свойство R lkim равно (91.3) вектор — разница между вектором встреч в одной точке Ke. Тензор R lkim называется тензором кривизны или тензором Леман.
Легко получить аналогичную формулу для контравариантного Это вектор ак Поскольку скалярный перенос не изменяется, A (AkB ^) = 0, где B & — Произвольный ковариантный вектор. Когда (91.3) используется: A (AkVk) = AkA B k + Bka A k = -XA kV {K btA / 1t + BkA A k = = B k (A A k + ^ D * «t D /, t) = 0, Или по завещанию Vector B &: A A k = ~ ^ atA * A / 1м. (91,5)
При выполнении дифференциально-ковариантного дифференцирования вектора Ai дважды В зависимости от x k и x g результат обычно зависит от порядка дифференцирование Есть место для общих производных.
Нашел в то время Подтвердите, что \ -Ats /; ^ определяется тем же тензором кривизны, Представлено выше. Другими словами, выражение Взломать; 1 к = ASN (91,6) Вы можете легко проверить, рассчитав непосредственно с Карно геодезическая система координат. Точно так же, Переменный вектор 1) г-к-1-а г.цк = -А мр лмки. (91-7)
Наконец, вы можете легко получить аналогичное выражение для второго. Тензорная производная (это самая простая. Например, используя тензор вида AiB ^ и следующую форму Лама (91.6), (91.7), полученная таким образом формула сохраняет тензор A из-за его линейности. так A {k; 1; m ^ r / s; m; f = AinR / c / m + Anj ^ R Ts. (91,8)
Очевидно, что в плоском четырехпространстве тензор кривизны Равно нулю Безусловно, в плоском пространстве вы можете: Везде берут координаты, где все Tgk1 = 0, таким образом Р лклм-0. Благодаря тензорным свойствам Rlkim эти величины В других системах координат он равен нулю.
Это Соответствует тому, что они параллельны в плоском пространстве Перенос вектора из одной точки в другую — четкая операция Вектор не изменяется при прохождении трансивера и замкнутого контура. Верна и обратная теорема: R lkim-0 4 пространства являются плоскими.
Конечно, в любом месте Теперь вы можете выбрать систему координат Galileo Бесконечно маленький сюжет. С параллелью Rlkim-0 Передача является четкой операцией, поэтому перевод Система Галилео, от этой маленькой области до всего остального Можно построить систему Galileo во всем пространстве И утверждение доказано.
Следовательно, равенство или неравенство Кретенса до нуля Виза это 4 Пространство плоское или изогнутое? Обратите внимание, что вы можете выбрать в изогнутых местах Локальная геодезическая (конкретная точка) система координат, Однако тензор кривизны в этой точке не исчезает (Производная Tgk1 есть Сам Th1).
Задача 1. Определить относительные четыре ускорения двух движущихся частиц Геодезическая линия около бесконечности. Решения. Рассмотрим различные геодезические семейства Значение некоторых параметров v. Другими словами, мировые координаты Точки выражаются в формате xr = xl (s, v). v = const — геодезическое уравнение (s — длина интервала, Вдоль линии от пересечения Супер поверхность).
Представляем 4 вектора Мистер I ‘] ´s ___ Mr. s г / = ——- 0 В = V 0 В, DV Соединиться с почти бесконечной геодезической линией, соответствующей Параметры v и v + Sv, точки с одинаковым значением s. Из определения ковариантной производной и уравнения di1 / dv = dv1 / ds (Где u = dxr / ds)
Рассмотрим вторую производную: P2 г J-J и ___ / g to \ I (g to \ I g to I, g to I o = [V -KU) -LU = (U -KV) -LU = U -K-, LV U + U -KV -LU в качестве Второй член снова использует (1), а первый член меняет порядок ковариации Дифференцирование антенны с использованием (91.7) и Ј> V / g 1 \ k | т-рый к I = (U.lU) .kV + U R mklU V. йз2 Первый член равен нулю, потому что ul-iul = 0 вдоль геодезической линии.
Вводя постоянный коэффициент Sv, в конце концов найдем уравнение. U> U— Д.С. от т1 до я т \ -R klmU UТ} (1) (Это называется уравнением геодезического отклонения). 2. Запишите уравнения Максвелла в 4-потенциальную пустоту Лорен.
Ценовая калибровка. Решения. Форма ковариантного обобщения условия (46.9) имеет вид AV = 0. (1) Уравнения Максвелла могут быть записаны с использованием уравнения (91.7) следующим образом: Fik’k = Ak, i’k -A i, k’k = Ak’k. i + AmRim-A i; k’k = 0 Благодаря (92,6) Рик, а затем (1) Ai-k, k-RikAk = 0. (2)
Смотрите также:
| Вращение в физике | Свойства тензора кривизны |
| Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля | Действие для гравитационного поля |
