Оглавление:
Угол между двумя осями. полярные координаты
- Угол между двумя осями. Полярные координаты /. Угол между двумя осями Рассмотрим две оси 1U и / 2, которые пересекаются в точке O на плоскости P. Угол между осью lt и осью / a предполагает, что положительное направление вращения (против часовой стрелки) выбрано по оси 1 и плоскости P оси P.
Поэтому порядок, в котором рассматриваются оси, является существенным. Символ (/, 1r) указывает угол между осями 1X и / 2. Тогда этот угол и угол (/ 2, / J не равны друг другу. Значение угла между двумя пересекающимися осями определяется неоднозначно. Фактически, если ось совпадает с осью / 2 после поворота на угол φ,
Если ось / вращается в положительном направлении, угол считается положительным, а если он вращается в противоположном направлении, то считается отрицательным. Людмила Фирмаль
Поверните несколько раз в любом направлении, затем Ось снова соответствует оси / 4. Таким образом, для углов, отличных от φ, вы получите бесконечно много значений в виде <p + 2 / hl. Где k — произвольное целое число. В будущем, если явно не согласовано, угол между двумя осями означает наименьшее положительное значение. 2.Полярные координаты В п. 1 § 2 были рассмотрены декартовы декартовы координаты точек на плоскости.
Однако вы можете построить много других систем координат, которые могут использовать два действительных числа для определения местоположения каждой точки на плоскости. Наиболее распространенной после декартовой системы координат является полярная система координат. Рассмотрим плоскость / ось (т. Е. Прямую линию с начальной точкой, положительным направлением, единицей измерения масштаба) (рисунок 12). Эта ось называется полярной осью, а ее начальная точка O называется полюсом. Пусть M — любая точка на плоскости, которая не совпадает с полюсом. Нарисуйте ось через эту точку и полюс.
| Действительные числа. координаты точки на прямой | Функциональная зависимость |
| Координаты на плоскости и в пространстве | Уравнение линии |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Начальная точка полюса совпадает с полюсом. Положительное направление выбирается от полюса до точки М, а единица измерения масштаба совпадает с полярной осью. (В некоторых случаях, если точка M находится в положительной части полярной оси, ось 1X совпадает с полярной осью /, а если точка M находится в отрицательной части полярной оси, ось и / находятся в противоположном направлении. .) Указывает координаты точки М на оси. позвони ей через г Полярный радиус точки М. Угол между полярными осями Ось / j представлена cp и называется полярным углом точки М. Для конкретной точки M угол определяется неоднозначно (до 2 / ч слагаемых (k — произвольное целое число)). В дальнейшем, если не указано иное, выберите тот, который удовлетворяет условиям из всех этих значений 0 <φ <2π.
Полярный радиус r такой точки также имеет очень четкое значение и всегда является положительным (поскольку выбрано относительное направление от оси O к точке M) и равен расстоянию от этой точки до полюса. И наоборот, если вы знаете, что точка M имеет полярный угол φ и полярный радиус r, вы можете создать эту точку.
Далее, каждая точка на плоскости, которая не совпадает с полюсом, соответствует четко определенной уникальной величине полярного угла φ. Людмила Фирмаль
Для этого достаточно нарисовать ось 1X, которая проходит через полюс под углом φ относительно полярной оси /, и создать точку на оси / выше по координате r.Таким образом, полярный угол (p и полярный радиус r) любой точки M на плоскости, исключая полюс, полностью определяет положение этой точки на плоскости. Числа φ и r называются полярными координатами точки М. Полюс находится в особом положении.
Полярный радиус полюса равен нулю, и только эта координата определяет положение полюса. Я согласен написать M (φ; r), где φ — полярный угол, а r — полярный радиус точки М. Пример 1. Точки построения полярной системы координат 2) Mg (i; 1), LM0; 3) и M4; 2). Решения. Чтобы создать первую точку, нарисуйте ось ниже Полярная ось / угол j до (рис. 13) и точка M1 на этой оси По координате 2. Остальные точки настроены аналогично. Оси / V «1 \ и / iv нарисованы, полярная ось и угол i, 0 и соответственно Рисунок 14 Од «» х я «1 -А точка M2 на оси / i построена с координатой I на оси / ‘/’ — координата M3 и точка M3 на оси / iv-точка M4 с координатой 2 Замечания.
Вы выбрали положительное направление оси lx от полюса до точки M. В некоторых случаях более удобно рассматривать противоположное направление как положительное направление оси lx. От точки М до полюса. В этом случае полярный радиус r точки M явно отрицателен. И наоборот, если задано отрицательное значение для полярного радиуса r точки M, это означает, что положительное направление оси M выбирается от точки M к полюсу. Пример 2. Создание точки в полярной системе координат Решения. Нарисуйте ось под углом <p = ~ с полярной осью (Рисунок 14) Постройте точку M на оси / A с отрицательными координатами r — 2.
Связь между декартовыми координатами и полярными координатами Иногда необходимо использовать декартовы и полярные координаты на плоскости одновременно. В этом случае естественно поставить следующие две проблемы. 1. Знать полярные координаты ip и r точки M и найти ее декартовы координаты x и y. 2. Знать декартовы координаты x и y точки M и найти ее полярные координаты f и r. Решение этих проблем зависит от взаимного расположения полярных и декартовых осей.
Рассмотрим только особый случай, когда полярная ось совпадает с осью абсцисс декартовой системы координат (и, таким образом, полярная координата совпадает с началом декартовой системы координат). Предполагается, что все три оси (полярная ось и оси Ox и Oy) имеют общую единицу шкалы. Основываясь на определениях тригонометрических функций cos f и sin f, Y, мы получаем следующее (рисунок 15): cos f = y, sin f = y, Откуда x-g cos f, | y = rsiпф. J Уравнение (7) представляет собой декартовый рис 15 Координаты точки через полюс Координаты.
Чтобы представить полярные координаты в декартовых координатах, возведите в квадрат каждую сторону каждого уравнения (7) и добавьте полученное уравнение для каждого члена. x2 4-y1 = r3 (cos2f -f sin2f), или r * = x * + y \ Отсюда R = y x * + y \ (8) Разделив первый член на второе равенство (7), получим: (Семь) tgcp = |. Уравнение (8) выражает полярный радиус r в декартовых координатах. Уравнение (9) может найти касательную полярного угла, если вы знаете декартовы координаты. Однако полученное значение tgcp соответствует двум значениям cp (при условии 0 ^ cp <2l). Из этих двух значений полярного угла cp выбирается то, которое удовлетворяет уравнению (7). Пример. Знайте декартовы координаты x = VZ и y = 1 точки Mu и найдите ее полярные координаты. (9)
Решения. Из уравнения (8) r = Y (K ~ 3) a + 1 * = 2. Согласно уравнению (9) * 1 tg <p = FT = — • Это значение тангенса соответствует двум значениям cp. И = уравнение (7) в этом случае записывается как: ] / * B = 2 cos f, 1 = 2 sin cf. Выполняется только для первого значения f. Таким образом, Ф = точка М имеет полярные координаты ф = и г = 2.
