Оглавление:
Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором
- Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором. Ковариантная производная метрики Тензор g ^ равен нулю. Следовательно, для вектора D A i Для любого вектора он должен иметь Ai = gikAk. Таким образом, DAi = D (gikAk) = gikDAk + АкДжик.
По сравнению с DAi-gikDAk, это означает случайность век Тора Аг: Джик = 0. Следовательно, ковариантная производная g ffc; J = 0. (8 6.1) Следовательно, ковариантная производная g Считается постоянным. Уравнение г ^. Используйте / = 0 Выразите символ Кристоффеля Thc1 как метрику тензор гик • Для этого пишите согласно общему определению Нию (85,14): gik; l = f | j-gm k ^ ~ gimlet = ^ -Gк, μ-Fi> kl = 0.
Напишите эти производные и отсортируйте индекс Людмила Фирмаль
Следовательно, производная г ^ представляется символически Кристофер 1). Сы г, к, я: & Gik __ p I p dglj __- p I p dgkl __ p 1 k, il -L g, / s / 5-g, / s / ~~ Г «l ^ iki 1 /, ki 1 / s, / g Возьмите половину этих уравнений (помните = Г ^ // -) G. s = 1 (^ + ^ _Јin * Y (86,2) 2 В & кр 5жг / В ‘ Отсюда символ Tgk1 = gimTmiki выглядит следующим образом. p r ___ 1 J im (dgmk dgml dgkl \ (Qa Q \ Tkl = 2s V d J + -d ^ — d ^) — (86’3)
Эти выражения обеспечивают желаемое представление символа кри Стоффель через метрический тензор. Выведите формулы, которые помогут в дальнейшем упрощать Символ Кристоффеля Гги. Для этого определите разницу Cial dg определителя g состоит из компонент тензора g ^. dg можно получить, взяв разность каждого компонента. Умножим тензор g ^ на коэффициент определителя, соответствующий минор.
- Между тем, компонент Тензор g ^ обратный тензор glk, как известно, равен минорам Определитель г ^ делится на этот определитель. Следовательно, минор детерминанта g равен gglk. Вот так dg = gg% kdgik = -g g ikdglk (86,4) (Поскольку gikglk = $ 1 = 4, то glkdgik = -g tkdglk). С (86,3) wg __ 1 im f & gmk i & gmi & gki \ ki ~ 2g V dxi dxk ~~ dx ™) ‘
Путем обмена индексами m и g третьего члена и первого члена В скобках видно, что оба эти условия взаимно отменяют друг друга. wg __ 1 im & gim 2 Или согласно (86.4) р р _ 1 дг _, ч к ^ 2г дхк • (8 6 * 5) Также полезно отметить формулу gklTlkl. У нас есть _ 1 ^ .kl ^ im (dgmk, dglm dgkl \ _ Jzl Jim (dgmk 1 dgkl \ ^ 2 {~ d ^ G + ~ d ^ ~ d ^) ~ d e V d ^ ~ 2d ^) ‘ Используя (86.4), это / s / pg _ 1 d (y / —gglk) / Ofi e Tk1- ~ ^ = dhk • (86,6)
Получено путем дифференцирования уравнения Гуглк Людмила Фирмаль
Это полезно запомнить для различных расчетов Производная контравариантного тензора glk имеет вид производные от гика gilJd l = _ glkdSiL (W7) dht 6 dht V ‘ ( = = 8k). Наконец, производная от GLK Представлено Tgk1. То есть из тождества glk.i = О
Скоро будет Используя полученную формулу, Выражение ума, которое обобщает расхождение век Тора в изогнутые координаты. Использование (86.5) У нас есть A i. = E * + r n A 1 =? * + A ‘* Dhg 1g dhg dhg’ Или наконец A% = * (86,9) > * dx u ’ Вы можете получить ту же формулу для дивергенции Антисимметричный тензор агк. С (85.12) \ i k __Да-рк цель ; k Qx k ‘m k ^’ 1 га / с ^ 1 Но Ашк = — CTP, так с т __ __ г ь с т __ г \ 1 га / с ^ 1 1 до t ^ u *
Подставляя уравнение (86.5) для Г ^, оно становится следующим. A ikk = (86.10) «До Dh V» Станьте симметричным тензором. Вы определяете 4 /, для его смешанных компонентов. У нас есть И _ & Aj-p / -l i _-p / __ 1 D (Aj y / g) _. D. ck к Qxk ‘1 Ik ^ -i 1 ik ^ -l к Qxk ki ^ l’ Последний термин здесь _1 (dgu dgu _ dgik \ A ki 2 \ dhk dh1 dh1)
Из-за симметрии тензора A k1 два члена в скобках Оставайся сжатым A k = (86Л1) «Dhk 2 DHG V» В декартовых координатах t- является асимметричным Даг Дак дхк дхи Тензор. В криволинейных координатах этот тензор равен A ^ — -А ^ я. Однако, используя формулу A ^ и учитывая тот факт, Γ, = Γ \ k 330 частиц гравитационного поля.
Наконец, преобразовать сумму в криволинейные координаты ^ ^ Вторичные производные некоторых скаляров (с. Очевидно, dxidx В координатах кривой эта сумма равна (P-i = d <p / dxg, потому что это скалярная ковариантная производная Это приведет к нормальной дифференциации.
Когда индекс g повышается, У нас есть H> ‘= 8’ JK DF DHK Используя уравнение (86.9) w ‘1 = — d (J ^ gik ^). (86.13) 1 ^ d x LU 66 dhk> K ‘ Обратите внимание на теорему Гаусса для преобразования (83.17). Интегрируем векторный интеграл на гиперповерхности С точки зрения (86.9) 4 тома можно описать следующим образом. ЈAi ^ d S i = j (86,14)
Смотрите также:
| Расстояния и промежутки времени | Движение частицы в гравитационном поле |
| Ковариантное дифференцирование | Постоянное гравитационное поле |
