Оглавление:
Действительные числа. координаты точки на прямой
- Действительный номер. Прямая настройка /. Концепция реального числа Этот курс всегда требует реальных чисел. Вспомните основную информацию о действительных числах, которая, по вашему мнению, известна читателям на курсах математики в средней школе. Множество действительных чисел * состоит из всех рациональных чисел и всех иррациональных чисел. Рациональные числа — это формальные числа, а m и n — целые числа.
Кроме того, Приволжский федеральный округ. . Форма Ленова — это у и, следовательно, является рациональным числом. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Необходимость введения понятия иррациональных чисел приводит к рассмотрению многих проблем, особенно проблемы измерения длины конкретного отрезка (например, длины диагонали диагонали с одной стороной, равной 1).
В частности, оно может представлять любое целое число m т . Людмила Фирмаль
Как известно, все рациональные числа ~ Может быть выражен в целом или в виде конечного или периодического бесконечного десятичного числа. Иррациональное число представлено апериодическим бесконечным десятичным числом. Например, рациональные числа y и представлены следующими десятичными числами: 1 = 0,75; 1 = 0,333 … = 0, (3). Иррациональные числа V2 и l представлены апериодическими бесконечными десятичными числами: V2 = 1,414 …; l = 3,14159 ….
Если вы используете десятичное число для описания действительного числа, вы можете заменить каждое иррациональное число на близкое к нему рациональное число. Это близкое рациональное число называется рациональным приближением данного иррационального числа. В качестве рационального приближения возьмем конечную дробь, где первые n цифр после десятичной точки соответствуют первым n цифрам после иррационального числа, а все остальные цифры заменяются нулями.
| Вычисление площадей плоских фигур | Координаты на плоскости и в пространстве |
| Вычисление длины дуги плоской кривой | Угол между двумя осями. полярные координаты |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Ошибка в этом обмене Очевидно, не превышает у ^. Так, например, рациональное приближение числа i = 3.14159 будет рациональным числом 3.14, только не превышающим j-до. nyes 3.14 .. В расчетах иррациональные арифметические операции заменяются соответствующими действиями в рациональном приближении.
Например, вычисление общего числа π + Kz до 0,01 дает: 1 + Cs Да 3,142 + 1,732 = 4,874 Да 4,87. Читатель найдет подробное объяснение теории действительных чисел (Vol.I, Ch.I), например, в процессе дифференциальной интеграции Г. М. Фихтенгольца.
Обратите внимание, что для получения приблизительного результата достаточно взять во всех вычислениях еще один знак, чем необходимо, и округлить результат до необходимого количества символов. Людмила Фирмаль
Реальный геометрический образ. Координаты точек на прямой Действительные числа могут быть представлены точками на оси значений. Ось значения — это прямая линия, из которой выбирается начальная точка (начало), положительное направление (отмеченное стрелкой на рисунке), сегмент и длина Считается равным единству около _ (Единица шкалы) (рисунок 1). Направление, противоположное — ^ J._,
Фактическое направление оси значений, Это называется негатив. Дело 1 Действительное число х> 0, то Он представлен точкой на оси значений, которая расположена с начала на расстоянии x в положительном направлении. Если x <0, точка оси, представляющая x, находится на расстоянии, равном -x в отрицательном направлении от начала (или x> 0, если x отрицательный). Нулевое число представлено начальной точкой оси. Вещественное число x называется координатой этой точки M на оси значений, которая ее представляет. Я согласен написать A1 (x), где x — координата M.
Рисунок 2, точки A4t (l), M2 (-2), Числовые оси, представляющие действительные числа 1, -2 и ^ 2 соответственно. Очевидно, что каждое действительное число x соответствует отдельной точке M на оси значений, и, наоборот, каждая точка M на этой оси соответствует единственному действительному числу x — координатам этой точки. Как говорится, между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси Индивидуальная переписка. по ®и_ом <> м, часто м3 вместо слов \ dg 1 w «данное число x» используется F 0 2 слова «заданная точка х» или —Zp — Одна точка на строке номера i — * — часто На это указывают его координаты. Рисунок 2 Многие реальные цифры Это упрощено.
Это означает, что два неравных действительных числа x1 и xx удовлетворяют только одному из двух неравенств. > Или х1 < На горизонтальной оси с положительным направлением слева направо точка, соответствующая большому действительному числу, находится справа от точки, соответствующей малому числу.
Также обратите внимание, что набор действительных чисел является плотным, то есть обладает следующими свойствами: Существует бесконечное число других действительных чисел между двумя действительными числами, которые не равны друг другу. Это означает, что если существует бесконечный набор чисел x (для принятия решения), x1 <xn больше, чем xlt и меньше, чем x2, то xg <x <xg.
Абсолютное значение действительного числа Абсолютное число (модуль) действительного числа x называется самим числом, если x> 0, и числом -x>, если x <0. Абсолютное значение действительного числа x представлено \ x . Как это: (Если х> 0, х-х <0, х * = Таким образом, например, | 2 | = 2 | l: | = i, | 0 | = 0, | —31 = — (- 3> = 3.
Вещественные модули являются положительными (если число не равно нулю) или нулем (Если само число равно нулю), значит, действительное число не больше модуля т. Е. Равенство имеет место, а x <0 содержит неравенство. (В последнем случае число x отрицательно, а модуль положителен).
Легко найти его геометрическое значение на основе определения абсолютного значения действительного числа. Абсолютное значение действительного числа x равно расстоянию точки M (x) от начала. Например, точка A11 (1) (см. Рис. 2, а) изначально находится на расстоянии, равном | 1 | = 1, а точка M2 (–2) находится на расстоянии, равном | -2 | = 2. д.
Используя геометрический смысл абсолютных значений, легко видеть, что при e> 0 неравенство | r | 0. Тогда \ x1 + xr \ = x1 + xr. Но <| Xj | l * i + *. KI * il + l . I- Теперь предположим, что x1 + x2 <0. В этом случае \ x1 + x2 \ = = — (! + *) —x2. Но -x1 <- * il = | * il и x2 , поэтому по теореме 1 s (! — *,) + *, | <| * t- * t | + K |, 0TKUDA Теорема 3. Абсолютное значение произведения кратных действительных чисел равно произведению абсолютных значений этих чисел. ] x1-x2 … xn | = \ xx \ ‘\ xg. , * „|.
Теорема 4. Абсолютное значение частного двух действительных чисел равно частному абсолютного значения этих чисел. * я я _ я * я я * g I I Xg G Теоремы 3 и 4 непосредственно следуют из определения абсолютных значений и действий умножения и деления. Замечания. В будущем в принципе будут учитываться реальные цифры. Поэтому для краткости его часто просто называют числом. Если необходимо учитывать комплексные числа, каждый раз делается специальное резервирование.
Расстояние между двумя точками на прямой Теперь вы можете использовать координаты для решения некоторых геометрических задач. Например, найдите расстояние между двумя точками на прямой (на оси значений): Mt (* i) и M2 (x2). Сначала предположим, что обе координаты не отрицательны и xt> (рис. 3, а). Тогда OM = xp OM2 = x2, поэтому Требуемое расстояние d-OM2—0Л4, = ^ _o_mrCx ^ = x2 — xy. Все еще для хх и х2 Не отрицательно, но x2 <xx (рис. 3, б), d = xl — x2. Q o_Mjfa) a / yfrf) ^
Очевидно, в любом случае Запишите Рисунок 3 d = * t |. (1) Если координаты x: и xx не являются положительными или если знаки xx и x2 различны, легко убедиться, что уравнение (1) остается в силе. Пример 1. Найти расстояние между точками Mx (-0,8) и M2 (3, 2). Решения. Из уравнения (1) d = 13,2- (-0,8) | = 3,2 + 0,8 = 4.
