Оглавление:
Криволинейные координаты в физике
- Криволинейные координаты. Со времени изучения гравитационного поля Рассмотрим явление в любой системе отсчета, затем Необходимо разработать 4D форму с Формат подходит для произвольных координат. Посвящается этому Щенки § 83, 85, 86. Одна система координат x0, x1, 9 4 / P / 1/9 / H Ну, ну, еще, ну, ну, ну, ну Xg = / ’’ (x’0, ^ 1, ^ 2, ^ 3), Где / g — некоторая функция.
При преобразовании координат Производная конвертируется по формуле дх {= ^ дх’к. (83,1) Контравариантный вектор 4 — произвольный набор Четыре значения Ar. С преобразованием координат nat конвертируется как разница: A * = A’K (83,2) (P — некоторый скаляр. Производная dav / dhr Формирование координат преобразуется по формуле Отличается от уравнения (83.2).
то произвольное множество из четырех величин, Преобразования координат преобразуются как производные Скаляр Людмила Фирмаль
Ковариант Вектор — э: ^^^ Точно так же различные четыре тензора Ранг.
Следовательно, контравариантный тензор 4 второго ранга Agk равен Набор из 16 величин преобразуется и преобразуется следующим образом: Поддерживать два контравариантных вектора, т.е. в соответствии с законом Aik _ & x% d% к алиму / ооо \ ”Dxn dx, t * ^^ Ковариантный тензор второго ранга A преобразуется по закону Yag’1 <83-6> l = Јt b g A «t- (83,7)
- А по смешанному 4-тензорному A1 k-формуле dh1 dh’t LP дхп дхк Эти определения являются естественными обобщениями. Определение 4 векторов и 4 тензоров координат Галилея (§6) и, соответственно, создайте производную от dx1. Контравариантный и производный d (p / dhg-ковариантный 4-Vector1).
Правила умножения или формирования 4 тензоров Упрощение других 4 тензорных произведений остается кривизной Линейные координаты такие же, как координаты Галилея. Например, это легко проверить по закону преобразования. Скалярное произведение двух 4-векторов (83.2) и (83.4) АльБи действительно неизменный. * iR dhg d x t d x t A B i b 7 ^ l in ™ A in ™ A B l
Квадрат элемента длины координаты кривой равен Вторичная форма дифференциала Людмила Фирмаль
Определение тензора блока 4 5gc при переходе в изогнутое состояние Линейные координаты не изменяются: компонент снова 5 кг = 0 для iΦk и 1 для r = k. Если Ak 4 вектор, Умножить на 5gk A ksi = A \ Т.е. снова 4-вектор, это доказывает, что 6gk является тензором Ром. dx1: ds2 = gikdxldxk, (83,8) Где gik — это координата, симметричная относительно индекса чернил. gik = gki- (83,9) G ^ контравариант от продукта (упрощение)
Поскольку тензор dxldxk является скаляром, g ^ образует ковариату Тензор, он называется метрическим тензором. Два тензора и B gk называются противоположно друг другу, Когда A ikB kl = b \. В частности, контравариантный метрический тензор glk на Обратный тензор g ^ называется, то есть gikgkl = b \. (83.10) Физическая величина того же вектора Отображать в счетчике и ковариантных компонентах Octopus.
Очевидно, единственная сумма, которую вы можете Компонент, который определяет связь между одним и другим Метрический тензор. Это соотношение задается формулой A * = gikA k, A i = g ik A k (83.11) В системе координат Галилея метрический тензор равен Компоненты: f 4 01 = Sitm = (n «n-? S i- (83.12) Уравнение (83.11) дает хорошо известное соотношение A ° = Aq, A1,2,3 = — ^ 4i, 2,3 x). То же относится и к тензорам.
Переход между разными Ми форма того же физического тензора Использовать метрический тензор по формуле A \ = yoA 1k, Agk = гугкмА лм § 6 (в системе координат Галилео) Псевдотензор EGK1GP pre полностью асимметричной единицы Формируется в произвольной криволинейной системе координат, И это обозначено E rk1m. Спецификация egk1gp
Сохраните значение, ранее определенное значением e ° 123 = 1 (или eoi23 = -!) • xg — это Галилей, а x — произвольная кривая Координаты. Согласно общим правилам преобразования Тензо Паз, у нас есть fliklm _ dhg dhk dh1 dht ^ prst дх, г дх, г дх’8 дх11 или jjiiklm _ j ^ iklm Где J — определитель, составленный из производных dxr / dx, p. То есть только якобиан в обращении из Галилеи Изогнутые координаты: J _ D (х °, х1, х2, х3) д (х ‘°, х’1, х’2, х’3)
Этот якобиан может быть представлен метрическим определителем Тензор g ^ (в системе xr). Для этого напишите формулу преобразования Для метрического тензора: ik _®х% ®хк1t (0) йо ~ дхп дхтё> И равный определитель состоит из величин По обе стороны этого равенства. Определители обратной матрицы Тензорный определитель \ glk \ = 1 / g равен g / m (°) | = -1. так Если J = 1 / y ‘-g, то 1 / g = -J2. Поэтому в криволинейных координатах антисимметрия
Тензор 4-й единицы должен быть определен как E iklm = _ J _ jklm, ‘(83.13) Это снижение тензорного индекса выполняется с использованием: официальный ^ gipgkrglsgmt- ~ §eiklrm Его ковариантные компоненты iklm => / 4 бт. (83.14) В системе координат Галилео x, r скалярное интегрирование DQ! = d x ^ d x ^ d x ^ d x ^ также является скаляром, т.е. элементом dQ!
Свинец При интегрировании себя в качестве скаляра (§6). При конвертации 314 Частица гравитационного поля X Координаты кривой xx Элемент интеграции dQf Введите д &! —Y — dn = \ J —§dVt. Следовательно, в криволинейных координатах произведение yj — g dft ведет себя как инва при интеграции в 4 тома Вариант 1).
Все упомянутое в конце §6 относительно элемента Integr Супер поверхность, поверхность и линии не повреждены Единственная разница между силой и координатами кривой Определение двойного тензора меняется незначительно.
Предметы Три бесконечно построенных суперповерхностных «региона» Есть небольшое смещение, антисимметричный контравариантный Тензор dSlkl \ dual vector получается умножением По тензорному, т. Е. Равному V ^ g d S i = — \ e iklm dSk l m (83.15) Аналогично, dflk является элементом поверхности (2D noy), построенный на двух бесконечных смещениях, Двойственный тензор определяется как 2) V -g d fik = \\ ^ e m <1 $ 1 грн. (83.16)
Как и прежде, здесь мы оставляем dSi и d / D. -E ^ imi dSklrn и -e ^ / m dflrn (и 6 2 Информация о правилах конвертации (6.14) — (6.19) Когда разные интегралы одинаковы В большинстве случаев их выводы являются формальными и Относится к соответствующему количеству тензорных свойств. Из них особенно нужны правила конвертации Гиперповерхностный интеграл для 4-объемного интеграла (теорема Гауссова) замена dSi-> ■ dflЈj. (83.17)
Смотрите также:
| Гравитационное поле в нерелятивистской механике | Расстояния и промежутки времени |
| Гравитационное поле в релятивистской механике | Ковариантное дифференцирование |
