Оглавление:
Понятие комплексного числа
- Целочисленная концепция Комплексное число z является выражением вида z = x + y *. Где x и y — действительные числа, r — так называемая мнимая единица, а r2 = -1. Если .x = 0, число O 4-zy = zy называется чистым мнимым числом, если = 0, а число a: + r0 = x идентифицируется действительным числом x. То есть множество R всех вещественных кайбелей — это все комплексные числа, t, .е. R C. S. Число x называется действительной частью комплексного числа z, обозначаемой x = Rez, а y является мнимой частью z, y = Im z. Два комплексных числа z \ -X \ + iy \ и z ^ = £ 2 + ij / 2 называются равными (z 1 = 2: 2), только если их действительные части равны, а их мнимые части равны : X \ = o? 2, у \ = йо.
Сложные понятия «больше» и «меньше» не вводятся. Два комплексных числа z = x + yy и 2 = £ -iy отличаются только знаком мнимой части и называются сопряженными. 1. Сложные геометрические изображения Любое комплексное число z-x 4-yy можно представить точкой M (x \ y) на плоскости xOy, такой что x = Re z, y = Im z.
В частности, комплексное число z-x-> yy равно нулю только в том случае, если x = y = 0. Людмила Фирмаль
Наоборот, каждую точку M (x \ y) в координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x 4-yy. Плоскость, на которой нарисованы комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Поскольку действительное число z = x + Og = x находится на горизонтальной оси, горизонтальная ось называется действительной осью. Ось ординат называется мнимой осью, на которой имеется чисто мнимое комплексное число £ = 0 + iy-
Комплексное число z = x-t-iy может быть установлено с использованием вектора радиуса m = OM = (i; y). Длина вектора m7, представляющего com-число z, называется модулем этого числа и выражается как: | y & y, r. Угол между положительным направлением действительной оси и вектором r, представляющим комплексное число, называется этим комплексным аргументом, VS Argz или <р. Аргумент комплексного числа r = 0 не определен.
| Общая схема исследования функции и построения графика | Действия над комплексными числами |
| Формула Тейлора | Неопределенный интеграл |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Аргумент числа plex zΦ0 является многозначной величиной и определяет члены до 2mc (k = 0, -1.1, -2.2 …): Argz = ^ arg 2; 4-27gL: arg z — интервал ( —Tr; Основное значение аргумента, заключенного в 7r], то есть n <argz ^ tg (значение, принадлежащее интервалу [0; 27r), принимается в качестве основного значения аргумента) 2. Форма для написания комплексных чисел Представление числа r в форме .r = x + iy называется комплексной алгебраической формой. , Модуль r и аргумент (комплексное число p можно рассматривать как полярные координаты вектора f = OM, представляющего комплексное число z = x 4-yy. Тогда x = r cosy?, X = r sirup. ,
Модуль r = \ z \ однозначно определяется выражением r = \ z \ = y / x2 + y2. Например, \ i \ = \ / 02 4-12 = 1. Аргумент (р определяется из выражения. ■ Имеет cos ip—, simp-tg <^ = -. r r x с того времени (P = Arg z = arg g 4-2 и 7Г, тогда cos <p = cos (arg z 4-2cc) = cos (arg z), siri (p = sin (arg z)) Таким образом, при переходе от сложной алгебраической формы к тригонометрической функции достаточно определить только основное значение комплексного аргумента. То есть рассмотрим ^ = argz.
Комплексное число z = xL- iy может быть записано в виде zr cos tz -fir sirup или z = r (cos ip + i sin ip), который называется тригонометрической формой вы. Людмила Фирмаль
—7r . Где r = Jz | модуль комплексного числа, угол ip = Arg 2 = arg z + 2for (fc = 0, -1.1, -2.2 …). Согласно формуле Эйлера, функция et <p периодическая с основным периодом 2π . Чтобы записать комплексное число z в показательной форме, достаточно найти главное значение комплексного аргумента. То есть предположим, что <p = arg. Пример: запишите комплексные числа z \ = -1 -b r и z <i = -1 в тригонометрической и экспоненциальной форме. ♦ о з \ \ z \ = r = 1 / (-1) 2 + 12 = \ / 2, argz = arctg (-ij-) + 7r = — = т.е. -1 + i = V2 (cos 4-g sin = y / 2ei3? r = V4-1) 2 + O2 = 1, arg * = arg (-l) = m, т.е. = m. Следовательно, -1 = cos7r 4-g sin7r = er7G.
