Оглавление:
Асимптоты графика функции
- Функциональная схема Если вы знаете асимптоту, построить график функции гораздо проще. При изучении гиперболических форм учитывалась концепция асимптоты. Напомним, что асимптота кривой является прямой линией, и если эта точка удалена бесконечно вдоль кривой, расстояние от точки на кривой стремится к нулю. Асимптота может быть вертикальной, наклонной и горизонтальной.
Это сломано. x-> a ‘X — M1—0’®-> a + (G’ Фактически, в этом случае непосредственно из рисунка видно, что расстояние точки кривой M (x \ y) от прямой x = a равно d = \ x-a . Для x a это d 0. Согласно определению асимптоты, линия x = a является асимптотой кривой y = f (x). Чтобы найти вертикальную асимптоту, нам нужно найти значение i, для которого функция f (x) возрастает бесконечно по модулю. Обычно это точки останова типа 2. 1 год -1 О х
Если lim f (x) = oo, или lim f (x) = oo, или Jim f (x) = oo, прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) Людмила Фирмаль
Например, кривая y = имеет вертикальную асимптоту х = -1, лим- = + оо, лим- x-4-l + OX + l ‘x -> — 1-0 x + 1 Косое асимптотическое уравнение можно найти в следующем виде: 2 / = I®) (1) о y = fx 4-6. Найти к и б. Пусть M (x \ y) — любая точка на кривой y =} (x). По формуле расстояние от U = + Wuo + C указывает на линию \ I + D2 Найти расстояние от точки М до линии (1) d = — = —00.
Условие d 0 выполняется только в том случае, если дробный числитель стремится к нулю. lim (kx-y + b) = 0. (2) X-ЮО В результате kx-y 4-b = a, где a = a (x) бесконечно мало. а0 как х-> оо. Если мы отделим обе части уравнения y = b + kx-a от x и перейдем к пределу как x-oo, мы получим lim y- = lim x-4oo X z—> 00 y X X J -0 и -0, так Х х k = lim (3) я тоже Находит 6 из условия (2). б-лим (у-кх). (4) X — Следовательно, если имеется косая асимптотика y = f 4, k и 6 можно получить из уравнений (3) и (4). Обратное также верно. Если существуют конечные пределы (3) и (4), линия (1) является косой асимптотой.
| Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке | Общая схема исследования функции и построения графика |
| Выпуклость графика функции, точки перегиба | Формула Тейлора |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Если хотя бы одно из ограничений (3) или (4) не существует или равно бесконечности, кривая y = f (x) не имеет диагональной асимптоты. В частности, когда k = 0, b = lim f (x). Так является ли y-b горизонтальным асимптотическим уравнением? 00. Примечание: асимптота графика функции y = f (x) с x + oo yig -oo может отличаться. Поэтому при нахождении пределов (3) и (4) случай x-4 оо и случай х-> оо должны рассматриваться отдельно.
♦ lim = lim ex = + oo, поэтому график функции X-F-4 -f oO + oo не имеет наклонной асимптоты. х Для х-, отношения ; Gain k = lim— х —— оо х = Lim- ex = 0 — О X b = lim (хе-ой) = lim хех = lim- = x -> — oo x -> — oo J — SS e ~ «x ОО ОС = lim —-— = 0 Таким образом, как и в х-оо, горизонтальная асимптота графа равна у = 0. ♦
Пример: Найти асимптоту графика функции y = хех. Людмила Фирмаль
