Объем тела вращения

Объем тела вращения

• Объем вращения тела Рассмотрим поверхность P, образованную вращением дуги AB на кривой y = f (x) (рис. 91). Предположим, объем V окружен поверхностью P и двумя плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оси Ox. Один из них находится на расстоянии от начала координат, а второй — на расстоянии b. Следовательно, внутренняя часть объема абсциссы V изменяется от a до b. Нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси Ox и на расстоянии x (a <* <; £) от начала координат. Объем, вырезанный из тела V этой плоскостью, является функцией x.

Представлено V (x). Если x задано приращение h = dx, V (x) получает приращение ДУ, показанное на рисунке. 91 (Рекомендуется одновременно рассмотреть рисунок 84 и часть 1 главы IX). Этот прирост окружен двумя цилиндрами. Второй i (y + ay) g dx первый объем p / dx. Таким образом, объем цилиндрической трубки, заключенной между этими цилиндрами, составляет 2πAuAu (см. Главу IX, 5 пр. 1). В результате инкремент AV отличается от объема цилиндра на 2πAA или меньше.

Высота первого цилиндра h = dx, радиус основания y = f (x), второй цилиндр имеет такую ​​же высоту и радиус y-> Au. Людмила Фирмаль

Но это бесконечно мало h = порядок около dx,! Поскольку \ y одновременно с A, разность объемов равна объему малого цилиндра ny * dx. Консолидировать и получить желаемый объем б J yau1 dx = i J [f (x) Y dx. (II), Тем не менее, Пример 1. Рассчитаем объем, полученный вращением изогнутой трапеции, окруженной параболой y = ось Ax и прямой линией x = \ вокруг оси Ox (рис. 92).

Используйте уравнение (II), чтобы установить f (x) = x *, a = 0, b = 1. 1 1 V = Jt ^ (xtf dx = n ^ x * dx = n [y]. 0 0 0 Пример 2. Расчет объема, полученного вращением 3 Вокруг оси Ox фигуры OAB, разделенной линией y = и y = 1 — x (см. §2 Перспектива 5 и Рис. 89). В этом случае целевой объем должен быть разделен на две части. Рис. 92 Первое получается путем поворота фигуры OMA, а второе получается посредством фигуры MBA. так * / ”^ 1 2 3 2 / Рисунок 93

• Пример 3. Рассчитать объем, полученный вращением вокруг оси Ox фигуры OBA. Эта фигура окружена осью Oy, которая является дугой синусоидальной волны q. == дуга греха jc и косинусоида <y = cosx (рисунок 93). «»

Целевой объем не может быть рассчитан сразу. Он получается путем вычитания объема, полученного вращением синусоидальной волны, из объема, полученного вращением косинусной волны. Таким образом, * / «NU * U cos2xdx-l \ s’m * xdx = nJ (cos2 x-sin2x) dx = ООО cos 2xdx = n = i [i-o]

Точка B на пересечении синусоидальной и косинусоидальной волн имеет одинаковую абсциссу, поэтому рассматриваемый объем равен l. 0 ~~ • 4 Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Задачи на применение определенного интеграла	Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений
Площадь криволинейной трапеции	Вычисление давления жидкости