Оглавление:
Собственные колебания поля
- Собственные колебания поля. Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное по ле, находящееся в некотором конечном объеме пространства. Для упрощения дальнейших вычислений мы предполагаем, что этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными соответственно А, В, С.
Мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом паралле лепеше, в тройной ряд Фурье (например, для ие). A = ^ A keikr. (52,1) к Все эти значения имеют все возможные значения. , _ 2тгпх, _ 27ТПу, _ 2 тГПг <л \ х-д 1 у ~ в ‘С’ где пх, Пу, nz —положительные или отрицательные целые числа.
к соответствующим волновым векторам к Векторы А к являются Людмила Фирмаль
В силу вещественности А коэффициенты разложения (52.1) связаны друг с другом равными А _к = АЈ. div А = 0 следует кА к = 0, (52,3) … Т е комплексные векторы А к «поперечны» , конечно, функциями времени, в силу волнового уравнения (46,7) каждый из них удовлетворяет уравнению А к + с2к2 А к = 0. (52.4)
Если размеры достаточно большие, то соседние значения кх, ку, KZ очень близки друг к другу. Можно говорить тогда о числе возможных значений кх, ку, KZ в небольших интервалах Акх, Аку, Akz. Поскольку соседние значения, скажем кх, соответствуют значениям пж, отличающимся на единицу, то число апх соответствует значениям
- Таким образом, следовательно, находим А пх = —А кх, А пу = —Аку, А нз = —А кз. х 2тг у 2тг уй з 2тг з Полное число равнозначных составляющих в заданных интервалах равнозначно произведенных Ап = Апх Апу Анз = J Акх Аку Акз, (52.5) где V = A B C —объем поляр. значений волнового вектора с абсолютной величиной в интервале А к и направлением в элементе телесных углов А о.
Для этого надо перейти к сферическим координатам в «к-пространстве» и написать вместо AkxAkyA KZ элемент объема в этих координатах. Таким образом, An = V Л 2АкАо. (52,6) (2тг) 3 V} Количество полученных значений составляет 47 Вычислим полную энергию поля Ј = ^ J (E 2 + K 2) dV, выразить ее через электрическое и магнитное го полей имеем E = — ± A = — ± V A keikr, С С L ‘ к Н = гниль А =% ^ [к А к] е * кг. (52,7)
экспоненциальные множители выпадают и интегрируют по дв дает просто объем Людмила Фирмаль
к При вычислении квадратов этих сумм замечаем, что все произведения членов с волновыми векторами кик ‘(к’ ф -к), дают нуль при интегрировании по всему объему. Действительно, такие члены содержат множители ег (к + к) Г, а интеграл, например , А J exp dx о схожим с нуля. = -К В. В результате найдем ■? = S ^ {M kA> i + [kAkl [kAi; 1} ‘ Ж к
Но ввиду (52.3) имеем [кАк] [кАк] = к2 А кАЈ, так что S + к2с2А кАЈ}. (52,8) 7ГС к (52.1). В силу уравнений (52.4) только те, кто использует время от абсолютной величины волнового вектора. В зависимости от выбора этих функций члены разложения (52,1) могут представлять собой стоячие или бегущие плоские волны. Представим бегущие волны. А = ^ (кейкр + аке-икр), (52,9) все зависит от времени по зако ак со еюйкт, шк = ск. (52.10)
Тогда каждый отдельный член в сумме (52,9) Сравнив разложения (52,9) и (52,1), находим, что их коэффициенты связаны равными Ак = ак + (52.10) производные по времени А к = -гск (ак-аЈ). Подставив это в (52,8), выразить силу поля через коэффициенты разложения (52,9). или аЈа * 1к взаимно сокращаются; ^ 2 akak и X} a -k a ^ k окончательно: = <fk = ^ a kaЈ. (52.11) к ^ .
Таким образом, полная энергия поля выражается в виде суммы энергий связанных с каждой из плоских волн в отдельности Аналогичным образом можно вычислить полный импульс поля: $ f w = ± J \ m w что получается Ек! Т- Этот результат можно было ожидать заранее ввиду известных отношений между энергией и импупьомни Разложением (52.9) дискретный ряд значений (видимый акцент) описание потенциалом А (ж, у, з, т), задаваемым во всех точках пространства.
Мы произведем теперь преобразование переменных ак, в результате которого окажется возможным придать уравнение поля вида, аналогичные канонические уравнения (уравнениям Гамильтона) механики. Введем вещественные «канонические переменные» Qk и Р к согласно соотношениям Qk = V ^? (Ak + а ^ ’ P k = _ ^ fcV ^ (ак _ ак) = ^ к (52-13)
Функция Гамильтона поля получается подстановкой этих вы ражений в энергии (52.11): ^ = E ^ = E ^ P k + wlQk) — (52-14) к к При этом уравнении Гамильтона д Ж / 9 Р к = Qk встречаются сравенствами Рк = Qk, которые, таким образом, збоа выбор коэффициентов и преобладание Уравнения же dJtf / dQk = —P k приводят к уравнениям Qk + ^ | Q k = 0, (52,15) т. е. тождественны с уравнениями поля.
Каждый из векторов Q k и P k перпендикулярен к волновому к, вектору т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей бегущей волны. Обозначив две компоненты вектора Q к (в плоскости, перпендикулярной к) Q посредством K-J, j = 1,2, имеем = X ^ Qk? з = Ж з = \ (1% + <4Я1з) — (52-16) кдж Мы видим, что функция Гамильтона распродана на сумму Qkj, Pkj.
бегущей волной с определенным волновым вектором и поляриза ция. «Осциллятора», совершающего простые гармонические колебания говорят иногда как о разложенных полярах на осцилляторы. Выпишем формулы, выражающие в явном виде поле через переменные Pk, Qk- Из (52.13) имеем & к = j ^ (P k _ ^ Qk) ‘ak = 4 года ^ (p k + ^ fcQk). (52.17)
Подставляя эти выражения в (52.1), найдем векторный потенциал поля: cos k r-Pk sin k r). К Для электрического и магнитного поля получим Е = -. Sinkr + Pk coskr), Я Л нр В (52.18) H = -. [—- (Ск ккк] см кр + кр ^ коскр). (52.19)
Смотрите также:
| Частично поляризованный свет | Геометрическая оптика в физике |
| Разложение электростатического поля | Интенсивность в физике |
