Волновое уравнение в физике

Волновое уравнение в физике

• Волновое уравнение Электромагнитное поле в пустом Максвелла, в которой надо положить р = 0, j = 0. Выпишем их еще раз: rotE = -, divH = 0, (46,1) с d t ‘’v’ гниль Н = div Е = 0. (46.2) с dt ‘v’ Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. значит, что электромагнитное поле может существовать

Электромагнитные поля мы сопровождаем зарядов, называем электромагнитными волнами. займемся теперь исследователем свойств таких полей. Прежде всего сейчас быть переменными. дИ / dt = d’E / dt = 0, и уравнения (46.1), (46.2) переходят в урав нения (36.1), (36.2) и (43.1), (43.2) постоянные поля, в которых, однако, теперь р = 0, j = 0. Но решенея этих = б, в нуль.

в силу неоднозначности потенциалов все это может быть сделано в определенных условиях Людмила Фирмаль

Выведем уравнения, определяющие потенциалы электромаг нитных волн. Как мы уже знаем, . так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю: (р = 0. (46,3) Тогда ^ 1 д А тт А Е = ———, Н = гниль А. с dt ’ (46,4) Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений (46.2), находим гниль гниль А = —ДА + град. дел. А = — (46,5)

Несмотря на то, что мы уже наложили одно предложение условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции (не меняя при этом ф). В частно можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким образом, чтобы div А = 0. (46.6)

• Действительно, подставляя Е из (46.4) в divE = 0, имеем дА д, .л п div — = — div А = 0, дт дт т. е. div есть функция только от координат. всегда можно обратить внимание на то, что Уравнение (46.5) приобретает теперь вид 1 я2 л Д А- = 0. (46.7) с2 dt2 v} Это и есть уравнение Это называется уравнением д’Аламбера или волновым уравнением1).

Применяя к (46.7) операции гнили и д / дт, убедимся в том, Волновое уравнение. Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном виде. Максвелла для поля в отсутствие зарядов в виде кхд = 0 (уравнение (30.2) с j 1 = 0).

а об удовлетворяющих ему потенциалах говорят как о потенциалах Людмила Фирмаль

Подставив сюда Flk, выраженные через потенциалы: Ф ик = дА * DXI DXI ’ получим Я2 Ак В2 А1 ———— г -————— г = 0. (46.8) dxidx дхкдх Наложим на потенциальные условия ! Ј = »<46-9> (Это условие называют лоренцевым, в лоренцевой калибровке).

Тогда в уравнении (46,8) первый член выпадает и остается в2 А1 77 в2 А1 , = g kl — ^ — f-r = 0. (46.10) dxkdxk 6 дхкдх1 К ’ Это и есть волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде1). 46,9) имеет вид — ^ + divA = 0. (46.11) с дт . Оно является более общим, чем использованный нами выше условие ф = 0, DIVA = 0; потенциалы, удовлетворяющий этот последний, удовлетворяет также и условию (46.11)

В отличие от них, однако, условие Лоренц имеет релятивистский инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющий ему в одной системе отсчета, (46.3), (46.6) нарушены, вообще говоря, при преобразовании системы отсчета).

Смотрите также:

• Решение задач по физике

Магнитный момент в физике	Плоские волны в физике
Теорема Лармора в физике	Монохроматическая плоская волна