Оглавление:
Непрерывные функции
- Непрерывная функция Как уже упоминалось, есть две возможности при поиске ограничений. 1) Предел функции равен значению функции с предельным значением независимой переменной, т.е. lim / () = f (<). х — * — это Следовательно, это был Пример 1§3. 2) Предельное значение функции не было равно предельному значению функции и независимой переменной. Hm / (x) φ / (a). х- * а Это случай примера, рассмотренного в § 2, где f (0) = Я присутствовал. В этом отношении класс непрерывных функций особенно выделяется.
lim f (x) = f (a). х а Точки, в которых это условие не выполняется, называются разрывами функций. Чтобы доказать непрерывность функции, уравнение lim / (π) = / (a) должно быть показано из любого a х а Область, где существует функция.
Функция определения f (x) называется непрерывной во всей области существования, когда существует уравнение для a из области существования. Людмила Фирмаль
Давайте докажем непрерывность нескольких функций. Следовательно, поскольку itx-a, функция y = x непрерывна. х а Рассмотрим степенную функцию xl. Где η — положительное целое число. Применяя свойство 3 из § 5, Mm xn-1 \ mx — \ mx..L \ mx-aa …. a ~ ap. х а х а х а х а А это значит, что степенные функции (с целыми числами и положительными показателями) непрерывны всюду. Также легко доказать непрерывность полинома (используя свойства 1 и 3 в § 5). Конечно, есть множество других функций.
Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных функций, которые постоянно присутствуют везде: 1 2 лошадиных силы (n> 0) 3 ajc »+ aljp-l + … + an 4 1 ч — а 6 logax (a> 1) 7 грехов 8 cos x тг * 10 ctgx 11 арксин х 12 arc IGX 13 а; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± n х ж олово Сделайте функцию непрерывной, т.е. lim f (x) = f (a) х а Из-за пределов области существования. Определяя предел, разность | / (a) — / (x) | может быть сколь угодно малой для всех значений x, которые немного отличаются от a. То есть, если x — a стремится к нулю, | / (a) — / ()) =) / () — / (a) | стремится к нулю. Где * —a = & — это приращение независимой переменной, а f (x) -— f [a) = Ay — это приращение функции.
- Следовательно, вышеуказанное содержание может быть сформулировано следующим образом: Для непрерывных функций приращение независимой переменной и приращение функции имеют тенденцию быть равными нулю одновременно. В точках останова это не так. Рисунок 43. В точке A приращение функции и независимой переменной имеет тенденцию быть равным нулю одновременно, но в точке B приращение функции никогда не бывает меньше BC (если >> 0), но приращение независимой переменной равно Есть тенденция стать нулем. Замечания.
Во всех последующих главах, если не указано иное, рассматриваемая функция считается непрерывной. Это указывается всякий раз, когда обнаружена прерывистая функция. Однако в некоторых случаях непрерывность функций четко согласована. Поэтому всякий раз, когда слово «особенность» встречается без оговорок, его следует рассматривать как последовательное.
Смотрите также:
| Свойства пределов | Решение задач на нахождение пределов |
| Предел lim (1+jc)*. Число e | Скорость |
