Оглавление:
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
- Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Теперь примените общее отношение к электромагнитному полю, полученному в предыдущем разделе.
Для электромагнитного поля величина A под знаком интеграла (32.1) равна Согласно (27.4), равный Величина q является четырехпотенциальной составляющей поля, поэтому Определение тензора T k (32.5) должно иметь вид rpk _ dAi _ Да _ ^ d * ”Dx * d (dAg / dhk) *
Или контравариантный компонент Людмила Фирмаль
Чтобы вычислить производную А, которая стоит здесь, Вариация: дА = -FklSFkl = -— Fkld (^ — Сиртер \ dx dx J Переставляя индекс и помня об антисимметрии Фки, Мы получаем 6А = FklS 4 7 г д.ч. Отсюда dA _ J_pkl д (дАи / дхк) 4 7 г ’ Таким образом, рпк 1 дАй jj, kl | 1 ck 771 jplm T ‘+ w 6’RyG’ H gc 1 EA 1 fa g, 771 / м — T— * l + -g Vim * 4 • 4 7 G хорошо * 1 0 7 G
Однако этот тензор не является симметричным. Для его симметрии Добавить значение J_OA ^ Fk 4 7 г DXI ^ Уравнение поля без заряда (30,2) dFkijdx \ = = 0, таким образом ± M p kl = -1 JL (A * Fki), 47 г DXI 4 7 г DXI Замена Tgk принадлежит форме (32.7) Это действительно. dA1 / dx {-dA1 / dx1 = Fil, так Наконец, найдите следующее уравнение для тензора энергии импульса электромагнитного поля: Tik = ^ [—FilFkl + ± gikFlmFlm). (33,1)
- Симметрия этого тензора очевидна. Он тоже Трасса равна нулю: Т \ = 0. (33,2) Экспрессировать тензорные компоненты Tgk через напряжение Электрические и магнитные поля. Используя значение Из (23.5) можно легко подтвердить, что T 00 совпадает со следующим. (31.5), за которым следует плотность энергии, составляющая cT0a Компонент указывающего вектора (31.2).
Пространственная составляющая Ta @ образует трехмерный тензор с компонентами = ± — (E y2 + E l-E l + H y + H i-H i), & Xy = ~ (E xE y + H xH y) 47G И т. Д. ° (х (3-ННр-6-6 (с (Е2 + Н2) (33,3) Этот трехмерный тензор называется тензором Максвелла. Стресс. Чтобы сделать диагональ тензора Tg, нужно Известь преобразуется в векторную систему отсчета E и H (в определенной точке пространства meni) параллельны друг другу или один из них равен нулю.
перпендикулярны и равны друг другу По размеру тензор Людмила Фирмаль
Как мы знаем (§25), такое преобразование всегда возможно. За исключением случаев, когда E и n перпендикулярны друг другу И размер равен. Легко понять после преобразования Thc ненулевые компоненты j-i00 _ rj-i 11 rj-i22 _ rj-i33 _ -yy (Ось X выбрана в направлении поля). Когда векторы E и n Tg не может быть уменьшен по диагонали Новый разум 1).
Ненулевой компонент в этом случае равных rpOO _ rj-i33 _ rj-i30 _ y (Ось x выбрана вдоль направления E, а ось y выбрана вдоль H.) До сих пор мы рассматривали свободные поля. Нари и Заряженная частица, тензор энергии импульса всей системы Представляет сумму тензоров импульса электрической энергии Магнитное поле и частицы, и последние частицы Не будет взаимодействовать
Определить тип тензора энергии импульса частицы Мне нужно описать распределение массы в пространстве Используйте «плотность массы» Опишите распределение точечных расходов, используя Плотность. Как и в случае уравнения плотности заряда (28.1), плотность массы можно записать в виде = = ^ 2 мА («Ха», (33,4) но Где ha — радиус-вектор частицы и выполняется сумма Через все частицы системы.
Плотность импульса частиц описывается в виде / lsia. Как ты Известно, что эта плотность представляет собой компоненту тензора энергии-импульса T0a / s. T 0a = ^ c2ia (a = 1,2,3). Но массовая плотность является временной составляющей 4 векторов И дхк —— (См. §28, а также плотность заряда).
Следовательно, тензор Используйте DT Энергетический импульс системы невзаимодействующих частиц равен Tik = cs —- = csi1ik-. (33,5) ^ ds dt r dt v ‘ Этот тензор симметричен следующим образом: Проверьте энергию и импульс путем прямого расчета Система, определенная как сумма поля, энергии и импульса частицы, фактически сохраняется. Другими словами, Нужно проверить уравнение ^ _ (T (n) / g + r (h) / g) = o, (33,6) Эти законы сохранения выражены.
Написать дифференциальное выражение (33.1) dG (n) * = 1 (l F im dFirn _ p kldFa_ p dFkl \ дхк 47 г \ 2 дхг дхк ^ дхк) Подставляя здесь в соответствии с уравнениями Максвелла (26.5) и (30.2), d ^ = _ 8 F ^ _ d F u dFkl = 4тг ./ dxi dh1 dht ‘dhk s 3’ Мы получаем dT ^ k = J _ / _ lpimdFrni_1 plmdFa_pkldFu_4ттр. -А дхк 4тг V 2 дх 1 2 дхм дхк с lU) ‘ Когда вы сортируете индекс, первые три условия Оставайтесь в контракте друг с другом Cfrp (u) k -j <33-7> Производная тензора (33.5) имеет вид дхк в дт) + ^ ° дт дхк ‘
Первый член этого уравнения исчезает из-за сохранения массы невзаимодействующих частиц. конечно дхк Значения четырех векторов «массового тока» 4 вектора зарядного тока (28,2), представлена консервация массы С исчезновением этого 4 вектора 4 расхождения: Таким же образом, что сохранение заряда представлено уравнением (29.4).
Поэтому мы имеем Используйте уравнения для дальнейшего преобразования Передача заряда в поле, описанном в формате 4D При переходе на непрерывный заряд и распределение массы По определению плотности / l и p существует / l / m = p / e. так Вы можете написать уравнения движения в следующем виде Перейдите к уравнению (33.6).
Оспаривать Найти закон преобразования плотности энергии и плотности магнитного потока Компоненты тензора энергии и напряжений в преобразовании Лоренца. Решения. Переместить систему координат K относительно si Система K вдоль оси x скорости V. Применение формулы § 6 вопроса 1 (33,8) дТ (‘ DHK (23.4): И дс или Вот так (33.9)
Если вы добавите его в (33.7), оно действительно станет 0. 122 Уравнение электромагнитного поля IV Для симметричного тензора Tgk W = —— x-r-2 — / — 2 (\ Ґf + до —4 S ‘x — а и xx}} 1 1-V / s V s2 s2) Sx = 1-at 2 / s2 [(* + + vw> -vaL ’ sy =. 1 (г; -V- ‘), Y л / 1-г 2 / с 2 в и 1 / О ^ 2 „, л ааа ~ l-V2 / c2 \ xx c2 c2) ’ _ / _ / _ / SGUU- & ZZ4®yz-Gyzi ° XV = y / 1-V2 / s2 (<T «B» Подобные выражения для Sz и crxz.
Смотрите также:
| Плотность и поток энергии в физике | Теорема вириала в физике |
| Тензор энергии-импульса | Тензор энергии-импульса макроскопических тел |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
