Оглавление:
Векторы
- вектор № 1. Вектор. Многие значения геометрических и физических величин полностью определяются путем установки определенного числа. Например, длина сегмента, объем и масса конкретного объекта, температура и количество электричества. Такое количество называется скаляром *). В этом отношении числа иногда называют скалярами. Следовательно, скаляр — это конкретное число (иногда называемое).
Другие геометрические и физические величины определяются путем указания направления и числа. Примером является сила, приложенная к точке. Поскольку 04a может действовать снизу вверх, сверху вниз, справа налево и бесчисленное множество других точек, недостаточно знать, что эта сила составляет 5 кг. Более простым примером такой величины является прямолинейный отрезок. Этот вид величины называется вектором, самым простым из которых является направленный линейный сегмент-вектор. Все векторные величины (если выбран масштаб) представлены некоторым вектором. Таким образом, вектор представляет собой отрезок прямой линии с четким началом и концом. На рисунке направление вектора часто отмечается стрелкой (рис. 259).
Для начала вектора M и его конца K, Далее вектор обозначается как NK * Вектор может обозначаться одной жирной буквой, такой как a, b, или такой же яркой буквой с чертой сверху, такой как a, b. |. Если vekure обозначен как a или ff, его длина указана как |. Или через | я | или, наконец, через. *) Эти значения могут быть отложены в масштабе.
Длина вектора NK указывается как NK Людмила Фирмаль
Это зависит от того, совпадает ли направление оси с вектором 0,11 (рис. 268). Указанное число называется координатами точки М. Часто упоминается как координаты оси, потому что мы хотим подчеркнуть, что единицы измерения начала и длины выбраны на оси. D D C B NG-1! -1-1-1-G мг 0 и с-г -1 около 1 г с б и ots> o; omg <o Рисунок 268. Рисунок 269. Если координаты точки Af являются осями и обозначены ею, то рисунок 269 s И A = -3, bv = 2, u = 0, UD = -y. Вектор на оси определения называется вектором перевода *).
Сама ось называется базой вектора над ней. Скользящая единица, направление которой совпадает с направлением ее основания, называется единичным вектором. Алгебраическим значением вектора движения определения является его длина, полученная со знаком 9 — \ — l или w— *. * Зависит от того, соответствует ли направление вектора и его базовое соответствие **). Вот алгебраическое значение вектора a: Это привело. а. Есть цифра 269 Водоросли привели. AB = 5, другой светодиод. БК = -2. Три важные теоремы связаны с понятием алгебраической величины вектора движения. Теорема.
Скользящий вектор равен его алгебраическому значению, умноженному на его вектор базовой единицы. a = (alg.vel.a) e,Где е — единичный вектор базы а. На самом деле, пожалуйста, расскажите другим. Это привело. а = р. Тогда | a | = | p |. Если p> 0, то направления a совпадают (рис. 270). Если p <0, направления a и e противоположны и a = pe (рис. 271). *) Или прилагается. **) Длина нулевого вектора равна нулю, поэтому нет необходимости говорить о том, какой знак использовать.
- Теорема 2. Умножение числа в векторе движения умножает это алгебраическое значение на то же число. Водоросли привели. (Па) = p (an.vel.a), Другими словами, числовой множитель может быть извлечен из знака алгебраической величины. -a_ Твоя девушка но Рисунок 270. Рисунок 271. На самом деле, пусть pa = b. Далее, длины a и b векторов a и b связаны соотношением b = \ p \ a. То есть абсолютное значение обеих частей уравнения Водоросли привели. B = p привело. но Он совпадает.
Если p> 0, векторы a и b направлены в одном направлении, их алгебраические величины имеют один и тот же знак, а если p <0, эти знаки противоположны, поэтому их знаки одинаковы Пожалуйста, обратите внимание, что. Теорема 3. Алгебраическое значение вектора на координатной оси равно координатам конечной точки, исключая координаты начальной точки. (2) Доказательство. В дополнение к началу вектора N и концу K, давайте введем начало оси O. О, Н и Н
Рисунок 272. (см. Рис. 272).В случае 1 Водоросли привели. Nk = \ M \ = \ ffi \ — \ ON \ == ut (-uN. В случае 2 Водоросли привели. M = — \ M \ = — (\ Uk-10K ) = — (uN-uK) = nK-uN. В случае 3 Водоросли привели. W = \ W \ = \ <W | + | SJ | = (- «* *) +» * = i * -nN. Аналогично, справедливость уравнения (2) устанавливается в остальных случаях.
Помимо простейшего случая, когда точки O и M K совпадают, есть шесть возможных мест для этих точек Людмила Фирмаль
Если длина вектора равна 1, он называется единичным вектором или единичным вектором. Так же, как число ноль играет важную роль в арифметических операциях, теория векторов требует так называемого нулевого вектора или нулевого вектора. Это вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначен 0. Очевидно, 10 | = 0. № 2. Эквивалентный вектор.
Два вектора a и b называются равными, а = б 1) если они параллельны, 2) если они ориентированы в одном направлении, 3) если они имеют одинаковую длину *) (рис. 260). Поэтому различные Рисунок 262. 2а (~ 3ja Рисунок 263. Рисунок 261. Рисунок 260 При рассмотрении векторов, начинающихся от центра круга, радиусы одного круга не равны друг другу (Рисунок 261).
Векторы AB и CD (рис. 262) и четные векторы AB и VA не равны **). но n ° 3 <умножение числа и вектора. — ^ Произведение вектора определения a и числа p представляет собой новый вектор pa>, параллельный вектору a и имеющий длину, равную абсолютному значению \ p \ вектора p. Направление вектора pa соответствует направлению a, если 0, и наоборот, при p <^ 0.
На рисунке 263 показаны векторы a, 2a и (-3) a. \ * a = a и 0. е = 0 Вектор (-1) a обычно представлен как -a. Очевидно, AB = BA. Состав произведения pa называется умножением a nz / ■. Легко видеть, что p (qa) = (pq) a. •) Короче говоря, вектор b равен вектору a при получении из вектора b с использованием параллельного переноса. Вектор VA называется противоположным вектору AB.
№ 4. Добавить вектор. Сумма вектора определения ait ay *) является новым вектором s и строится по следующим правилам: вектор A9A \ = av рисуется из любой точки i4o в пространстве. Вектор A \ A% = av является его концом. Нарисовано из вектора = и т. Д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет построен вектор Aya_khAya = ap. Вектор s = A <) An (то есть от начала первого вектора задержки до конца первого), и все равное является определенной суммой. Спецификация заключается в следующем.
Сумма четырех компонентов на рисунке 264 замечаний построена. 1) Полигон **) A ^ A \ A% … An называется вектором, Говорят, что вектор AD закрывает этот многоугольник. 2) Выбор точки I0 не важен. Перемещение этой точки перемещает векторный многоугольник параллельно самому себе И новый конечный вектор равен старому. 3) Когда векторный многоугольник замкнут один, то есть когда Ap совпадает A0> + + + = 4) Построение суммы векторов называется сложением их. 5) Сумма векторов не является цифрой 264.
Зависит от порядка членов. Другими словами, добавление вектора предполагает перемещение (или коммутацию).Недвижимость. Это не доказывает ни эту, ни следующую характеристику: 6) Существует свойство комбинации (или ассоциации) для добавления векторов. Вы можете разделить набор векторных терминов на несколько групп, добавить их в отдельные группы и сложить сумму этих групп. Например ax + ^ -f a3 + «a + a5 + i * = + l ) +» s + («4 +» b + < e) — *) Иногда говорят: геометрическая сумма. Mj подчеркивает, что этот многоугольник не может быть плоским.
7) Что касается умножения числовых значений, сложение векторов имеет характеристику распределения (или распределения), выраженную уравнением. Pifl 1 + flj- •• + ap) = P <* 1 + число + ••• ■ + То есть, когда числа во всех терминах вектора умножаются, их сумма умножается на одно и то же число. Если p> 0, это свойство ясно. В этом случае векторный многоугольник A9A \ A% … Размер будет умножен на p, но он не будет вращаться. Аналогично, для p = -1, для векторных многоугольников порядок обхода вершины меняется на противоположный (если порядок членов обращен, свойство shift допускает это).
Таким образом, умножение на p = -1 заменит все A ^ An на ApA & и умножит на -1. Наконец, если p <0, то p ^ =. -1 сводится к последовательному умножению на | /> |> 0 и -1. 8) Аналогичная формула также действительна. (P + q) a = pa4-qa, Рисунок 265. Где р и q являются числами. Предоставить доказательства читателю. Это очень просто. Случай, когда p и q являются одним и тем же знаком, и случай, когда они различаются, должны рассматриваться отдельно. 9) Особый интерес представляет добавление двух векторов. В этом случае сумма составляет:
Члены сводятся к общему началу, строится параллелограмм, а диагональ этого параллелограмма строится из общего начала (рис. 265). Равенство здесь a — {- b = b — {- a, Сразу видно, что выражены аддитивные характеристики смещения. № б. Вычитание вектора. Определение Разница между векторами a и b — это вектор r, который нужно добавить к b, чтобы получить a: b + r = a. Эта разность обозначается как a-b, а ее конструкция называется вычитанием вектора b из вектора a.
В этом отношении a называется уменьшением, а a b является вектором вычитания. Если мы отложим a = OA и b = OV из общего начала O, 26G и вектор B A будут разностью a-b, как показано.Таким образом, разность между двумя векторами, ожидающими от общего начала, связана с их концами и направлена от конца вычитаемого вектора к концу сокращенного вектора. Когда параллелограмм (рис. 267) строится с a = OA и b = OB (отделенными от одной точки O), разность r = a-b представляется диагональю VA и не проходит через O. Из последней цифры, r = W = BC + CA == a + (-b), То есть вычитание вектора b из a эквивалентно добавлению противоположного вектора b к a: О) a-b = a-f (-b).
Так что для любого числа р p (a-b) = p [a ^ (-b) \ = pa — \ — p (-b) = pa + P ‘^ ) b = = pa \ (-p) b-pa -f (-1) (pb) = pa-pb, Это Рисунок 266. p (a-b) = pa-pb Однако это доказательство равенства, основанное на чисто геометрических соображениях, вероятно, проще, чем выше. Также обратите внимание на равенство (P-q) a = pa-qa, Это легко угадать из (1) *). № 6. Скользящий вектор. Мы уже упоминали, что линии направления называются осями. Если выбраны единица длины и контрольная точка O, положение любой точки M на оси характеризуется числом: расстояние OM, знаковое, — + — • или- * *) На самом деле, pa-qa = pa ■} — (- q) a = (? + (-Q) \ a = [p-u a.
Смотрите также:
| Определители любого порядка | Проекции |
| Решение систем линейных уравнений | Координаты в пространстве |
