Оглавление:
Свободные одномерные колебания
- Свободная одномерная вибрация. Очень распространенный тип движения механической системы — это так называемая небольшая вибрация, и система работает вблизи своего устойчивого положения равновесия. Если ваша система имеет только одну степень свободы, рассмотрите эти движения в простейшем случае.
Стабильное равновесие соответствует этой позиции Система с минимальной потенциальной энергией U (q). Отклонение от этой позиции приводит к появлению силы — dU / dq и имеет тенденцию возвращать систему. Соответствующее значение обобщенной координаты обозначается как qo.
Продолжаем считать Введение потенциальной энергии из минимума Людмила Фирмаль
Этого достаточно для небольшого отклонения от положения равновесия при разнице разности мощностей U (q) -U (qo) q-qo. Сохранить первый неувядающий член. В общем случае это квадратичный член U (q) -U (q0) и | (от q до qof, Где k — положительный коэффициент (второе значение Вода U «(q) при q = qo). (т.е. U (qo) = 0) и обозначений х = q-q 0 (21,1) Координаты отклоняются от равновесного значения.
Вот так А (х) = (21,2) Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы В общем \ a {q) q2 = \ a (q) x2. В том же приближении достаточно просто заменить функцию a (q) значением q = q $. Для краткости введем обозначение х) а (q0) = га, Наконец, мы получаем следующую формулу для лагранжиана Системные функции, которые выполняют одномерные небольшие колебания 2): g _ tx2 x2 T ~ 2 ~ ‘
- Уравнение движения, соответствующее этой функции: tx + kx = 0, (21-4) или x + w2x = 0, (21,5) Где было введено обозначение w = \ Jk / га (21,6) Два независимых решения для линейных дифференциальных уравнений (21.5): coscut и sin cut x = c \ cos cut + C2 sin cut. (21-7) Это выражение также может быть записано как x = cos (cut + oc). (21,8) cos (cut + os) = cos cut ・ cos os-sin cut a = \ Jc \ + cl, tan a = —C2 / C1. (21-9)
Поэтому вблизи положения устойчивого равновесия Система выполняет гармоническое колебательное движение. Коэффициент а с периодическим коэффициентом (21,8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их разность фаз Начальное значение фазы. Это, очевидно, зависит от выбора эталонного времени. Величина s называется периодической частотой колебаний.
Частота является основной характеристикой вибрации Людмила Фирмаль
Однако в теоретической физике это обычно называют просто частотой, но это делается в будущем. , В зависимости от первого условия вождения. По формуле (21.6) полностью определяются характеристики механической системы Нам это нравится.
Тем не менее, подчеркивается, что эта характеристика частоты связана с ожидаемой низкой вибрацией и исчезает при переходе в более высокое приближение. С математической точки зрения это связано с вторичными зависимостями Потенциальная энергия от координаты х).
Энергия маленькой вибрационной системы E = rnJ k_J = rn (2 2 2) 2 2 2 v ‘ Или заменить здесь (21.8): E = ± mw 2a2. (21.10) Он пропорционален квадрату амплитуды вибрации. Временная зависимость координат системы колебаний Во многих случаях это удобно выразить в реальном виде.
Часть сложного выражения x = Re {Aeiu} t} (21.11) Где A — комплексная постоянная Написать в форме A = aeioc, (21.12) Вернитесь к уравнению (21.8). Константа А называется комплексной амплитудой. Модуль соответствует нормальной амплитуде Дой, а аргументы — на ранней стадии. Работает с экспоненциальным множителем мате Математически проще, чем тригонометрия, Внешний вид не меняется из-за дифференциации.
В то же время Выполняет только линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование). Обычно знак действительной части можно опустить. Переходите к последнему только в конечном результате расчета. Задание 1. Выразите амплитуду вибрации и начальную фазу через начальную стадию координаты ho и vo и значения скорости. Ответ: а = 2.
Найти соотношение частоты колебаний si и si7 двух двухатомных молей кул, состоящий из атомов различных изотопов, одинаковой атомной массы Ми 777-2 и 777-1, ш2- соответственно Решения. Поскольку атомы изотопов взаимодействуют одинаково, k = k ‘. Роль коэффициента m в кинетической энергии молекулы играет уменьшение массы. Следовательно, согласно (21.6), мы можем видеть, что: си си + t’2) + м2) 3.
Найти частоту вибрации точки с массой ш, может двигаться по прямой линии, прикреплен к пружине, другой конец пружины зафиксирован В точке А (рисунок 22) на расстоянии I от линии. Пружина длиной / растягивается силой F. Решения. Потенциальная энергия 22 зерна (точность от малого до высокого) Порядок) равен произведению силы F и удлинения пружины S. х ^ я У нас есть L = y / P + x2 -1 i x2 / (21), Установите U = Fx2 / (21). Поскольку кинетическая энергия равна tx2 / 2, ~ W мл 4.
Точно так же точка m движется по окружности радиуса r (рисунок 23). Решения. В этом случае удлинение пружины (ср. 1) L = s / r2 + (/ + r) 2-2r (l + r) cos (p-I & 21 T ^ c ^ 2. Кинетическая энергия T = (1/2) sr2f2. Следовательно, частота CU: F (r + 1) край 5. Найдите частоту колебаний, показанную на рисунке. Два маятника с подвижными точками подвески (включая массу ми) В горизонтальном направлении.
Решения. Для (р C 1 от Th 3§14 формулы мы находим Ш1Ш2 / 2 T = Отсюда 2 (ми + м2) Ф2, С / = ^ ф2. г (ми + 777-2) мельница 6. Определите форму кривой при качании Вторая (в гравитационном поле) частота колебаний Amplitude. 32 .SIRP решения. Условие выполнено Создайте такую кривую при движении, чтобы потенциальная энергия частицы составляла U = ks2 / 2.
Где s — длина дуги, Зеневский баланс; Кинетическая энергия T = мс2 / 2 (м — масса Частица) и частота колебаний будут si = y / k / t независимо от начального значения s. Но в гравитационном поле U = mgy, у — вертикальная координата. так ks2 / 2 = mgy или w2 2 у = ^ с- Между тем, ds2 = dx2 + dy2, поэтому Интеграция удобно осуществляется путем замены тогда W = 4 ^ ^ + грех ^ ‘ Эти два уравнения определяют уравнение для искомой кривой в параметрической форме. Это циклоида.
Смотрите также:
| Формула Резерфорда | Вынужденные колебания в физике |
| Рассеяние под малыми углами в физике | Колебания систем со многими степенями свободы |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
