Оглавление:
Движение в центральном поле в физике
- Перемещение центра поля Проблема движения двух объектов была сведена к проблеме движения одного объекта, что привело к проблеме определения движения частицы во внешнем поле, где существует потенциальная энергия.
Зависит только от определенного фиксированного расстояния r Точка; такое поле называется центральным. прочность F _ DU (G) _ DU R доктор др г Действуя на частицы, абсолютное значение Это также только от r и направлено на каждую точку вдоль радиус-вектора. При перемещении в центр, как уже указано в §9 Поле содержит момент системы относительно центра поля.
траектория частицы в центральном поле полностью находится в одной плоскости Людмила Фирмаль
Для одной частицы это М = [г]. Поскольку векторы M и r перпендикулярны друг другу, инвариантность m означает, что радиус-вектор всегда остается в одной плоскости (плоскости, перпендикулярной M) при движении частицы. Следовательно, .
Введите полярные координаты r и cp и запишите функцию Лагранжа в следующем формате (ср. (4.5)) L = ^ (r2 + r2cp2) -C / (r). (14.1) Эта функция явно не включает координаты cf. Обобщенные координаты, явно не включенные в Лагранжева функция называется патруль. Благодаря уравнению Лагранжа вы можете сделать следующее для этих координат: d d _ dL _ q dt dqi dqi ’ Таким образом, соответствующий обобщенный импульс p1 = db / dcc является интегралом движения.
- Эта ситуация значительно упрощает задачу интегрирования уравнений движения при наличии периодических координат. В этом случае обобщенный импульс = tg2f Соответствует моменту Mz = M (см. (9.6)), поэтому вернемся к известному закону сохранения момента M = gag2p = const. (14-2) Для плоского движения одной частицы в центре Районы, разрешенные этим законом Геометрическая интерпретация.
Формула (l / 2) r * rdcp представляет площадь сформированного сектора Два почти бесконечных радиуса вектора и элементы орбитальной дуги (рисунок 8). С этим? И мы пишем момент частицы на форме М = 2 т /, (14,3) Здесь производная / называется скоростью сектора.
сохранение импульса означает постоянство скорости сектора Людмила Фирмаль
по Напротив, — за тот же период радиус-вектор движущейся точки описывает равную площадь (так называемый Второй закон Кеплера) Полное решение проблемы движения центральной частицы Проще всего получить поле по закону сохранения энергии и импульса, не выписывая само уравнение движения.
Из (14.2), выражая φ через M и подставляя энергию в уравнение, E = (f2 + rV) + и (r) = ^ + J ^ + и (r). (14.4) Отсюда r = ± = J ^ [E-U (r) \ — ^ (14,5) дт в т т2г2 Или разделить и объединить переменные = [dr = + const. (14,6) J / 2, YYY 77, W м — [E-U (r)] Кроме того, напишите (14.2) в форме dip = -m ^ r2z dti Подставляя dt из (14.5) здесь, φ = [(М / г) др конст. (14-7) J y / 2t [E-U (g)] -M 2 / r2 V ‘ Уравнения (14.6) и (14.7) решают общую сформулированную задачу.
Второй из них определяет отношения между гифами. Орбитальное уравнение. Уравнение (14.6) неявно определяет расстояние r движущейся точки от центра как функцию Время. Обратите внимание, что угол φ всегда изменяется монотонно со временем — (14.2) показывает, что φ не меняет знак. Уравнение (14.4) показывает, что радиальная часть движется Его можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией.
= Гг) + (14,8) Значение M2 / (2tr2) называется центробежной энергией. значение г Италбо йцинарг тюялеропо + & * = E ′ <14-9> Перемещение расстояния от центра. Если выполнено уравнение (14.9), лучевая скорость r Она исчезнет. Это не означает остановку частиц Поскольку угловая скорость φ не исчезает, это истинное одномерное движение). Уравнение r = 0 означает «точку поворота» орбиты, где функция r (t) возрастает с ростом.
Уменьшить или наоборот. Если допустимая область изменения r ограничена только одним условием r ^ rmin, движение частицы бесконечно Траектория исходит из бесконечности и уходит к дьяволу Руки и ноги. Если есть две границы rmin и rmax в области флуктуаций r, Движение конечно и траектория полностью лежит В кольце, окруженном кружками r = rmax и r = = ^ min-
Однако это не означает, что траектория действительно является замкнутой кривой. р от При переходе от rmax к rmin, а затем к rmax радиус-вектор поворачивается на равный угол Df в соответствии с (14.7). Макс Der = 2 f, (M / r2) dr (14.10) J d / 2t (E-U) -M2 / g2 V 7 T минут Состояние закрытия орбиты Этот угол равен рациональному числу 2тг, т.е. была форма Df = 2 м / n, где w, n- Целое число Тогда н
Повторите этот период Завершить радиус-вектор момента времени, около t Компания соответствует ему Начальная стоимость То есть путь закрыт. Однако это исключение и для любой формы U (r) угол Не разумно Часть 2тг. Поэтому в общем случае орбита фи Движение пряжи не закрыто.
Она проходит минимальные и максимальные расстояния много раз Все кольцо между двумя граничными кругами заполняется за бесконечное время (например, как на рисунке 9). Есть только два типа в центральном поле. Все компактно поддерживаемые траектории замкнуты. Это поля, в которых потенциальная энергия частиц пропорциональна г Или г2.
Первый из этих случаев будет обсуждаться в следующем разделе, а второй случай соответствует так называемому пространственному осциллятору (см. Вопрос 3, §23). В точке поворота квадратный корень (14,5) (и И подынтегральные выражения (14.6) и (14.7) меняют знак.
Считая угол cp от направления вектора радиуса, нарисованного в точке поворота, отрезок траектории, примыкающий к этой точке с обеих сторон, отличается только знаком cp для всех одинаковых значений r.
Это означает, что траектория симметрична относительно указанного направления. введение Пройдите отрезок от одной из точек r = rmax локус к точке r = rmin, то есть симметрия Тот же сегмент до следующей точки Повторяя один и тот же отрезок в прямом и обратном направлениях, например, r = rmax, получается вся траектория.
Это Относится к двум бесконечным трекам Симметричная ветвь, отходящая от точки поворота Реклама бесконечна. Наличие центробежной энергии (при переходе от М ф 0), r- »0 до бесконечности, как smallfraclr2 Обычно перемещение делает вторжение невозможным Последние частицы в центре поля, даже если они сами обладают привлекательными свойствами.
«Падение» частиц в центр возможно только в том случае, если потенциальная энергия имеет тенденцию быть достаточно быстрой. k — для m — y0. Из неравенства V ^ — = E-U (r) -> 0 2 v ‘2mr2 или r2U (r) + Другими словами, U (r) должен стремиться -о либо-> ca> либо g2 2t Пропорционально —n> 2. Задание 1. Интегрировать уравнение движения шарикового маятника. Точка массы w движется вдоль поверхности сферы радиуса I Гравитационное поле.
Решения. Сферические координаты, начиная с центра сферы, Если полярная ось направлена вертикально вниз, функция Лагранжа Ник Координаты (р периодическая, поэтому обобщенный импульс сохраняется Rf, который соответствует мгновенному компоненту z: Интеграции (3) и (4) сводятся к эллиптическим интегралам соответственно. Но первый и третий вид.
Область движения вдоль угла 0 определяется условием E> Ј / eff и его гра. по ница-уравнению E = TJ3f. Последний куб Уравнение cos0 имеет два корня в интервале от -1 до +1, определенно Положение двух параллельных кругов на сфере, Вся траектория теперь закончилась. 2. Интегрировать уравнение движения массы Ожог вдоль поверхности конуса (угол 2а на вершине) Вертикально, сверху вниз, в гравитационном поле. Решения.
Функция Лагранжа L = t2 (02 + sin2 0 • ф2) + mgl cos 0. ml2 sin2 0 • ф = Mz = const. (I) Энергия-мгл cos0. (2) Определите 0 отсюда и отделите и получите переменную (3) Где вводится «эффективная потенциальная энергия» Интегралы (3) и (4) сводятся к эллиптическим интегралам типа 1 и типа 3 соответственно.
Область движения вдоль угла 0 определяется условием E> Ј / eff, а ее граница определяется уравнением E = TJ3ph. Последний куб Уравнение cos0. С двумя маршрутами, определяющими расположение двух параллельных окружностей на сфере, с интервалом от -1 до +1 Вся траектория теперь закончилась.
2. Интегрирует уравнение движения материальной точки, движущейся вдоль поверхности размещенного конуса (угол 2а у вершины) Вертикально, сверху вниз, в гравитационном поле. Решения. Функция Лагранжа Аналогично вопросу 1, PhD т = / ^ [E-eef (г)] Mz F Dr Фsin2 al / 2m: J / r2 \ JE-U3ф (r) ‘ + мср cos a- ML 2mr2 sin2 oc Условие E = ief (g) является кубическим уравнением для g (в случае Mz 0 0) и имеет два положительных корня.
Определите положение двух горизонтальных кругов на поверхности конуса. Траектория теперь закончена. 3. Объедините уравнение движения плоского маятника с точкой подвеса (с массой w ), которая может двигаться горизонтально (см. Рисунок 2). Решения. В функции Лагранжа в задаче 2 из § 5 координата x является периодической.
Следовательно, обобщенный импульс Px, который соответствует горизонтальной составляющей полного импульса системы, сохраняется. Px = (m i + GP2) x + 777-2 / f COS f = C Onst (1) Вы можете просмотреть всю систему в любое время. Тогда const = 0 и Интеграл уравнения (1) дает соотношение (T 1 + m2) х + m21 sinф = const, (2) Указывает, что центр инерции системы не перемещается горизонтально.
Используйте (1), чтобы получить энергию в следующем формате: ITI2I2 dcp. 11 (7771 + 7772) J VÅ + 7772 г / COSф 2 Координата X2 = x + lsin (p, 2/2 = lcos ((2) представляет p частицы m2, используя φ, траектория этой частицы — горизонтальная ось / 7771 / (7771 + m2) и вершина Вы можете видеть, что это эллиптический сегмент с I. I. 777-> oo, чтобы вернуться к нормальной математике Маятник, который рисует дугу круга.
Смотрите также:
| Приведенная масса в физике | Кеплерова задача |
| Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени | Распад частиц в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
