Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки . Докажем, что
Разобьем отрезок интегрирования на части и . Тогда по свойству аддитивности
В первом интеграле сделаем подстановку . Тогда
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим
Если функция четная , то ; если функция нечетная , то .
Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).
Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Конус второго порядка |
Работа переменной силы в определённом интеграле |
Давление жидкости на вертикальную пластинку |
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой |